Преобразование корней в степень и обратно: а) Перевести корень в степень: $\sqrt[3]{y^2}$. б) Записать в виде корня: $z^{-\frac14}$. в) Выполнить действия: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]a$ (перейдите к одному основанию). г) Сократите дробь: $\frac{\sqrt[4]{m}}{m^{\frac12}}$. д) Приведите к общему знаменателю показатели степени: $\sqrt[6]{n^5}\cdot n^{\frac13}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Преобразование корней в степень и обратно: а) Перевести корень в степень: $\sqrt[3]{y^2}$. б) Записать в виде корня:…$ Фото задания

Преобразование корней в степень и обратно: а) Перевести корень в степень: $\sqrt[3]{y^2}$. б) Записать в виде корня: $z^{-\frac14}$. в) Выполнить действия: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]a$ (перейдите к одному основанию). г) Сократите дробь: $\frac{\sqrt[4]{m}}{m^{\frac12}}$. д) Приведите к общему знаменателю показатели степени: $\sqrt[6]{n^5}\cdot n^{\frac13}$.

Accepted Answer

Используем правило $\sqrt[k]{b^r}=b^{r/k}$: $\sqrt[3]{y^2}=y^{\frac23}$.
Записываем отрицательную степень через обратную величину, а показатель $\frac14$ — через корень четвёртой степени: $z^{-\frac14}=\frac1{z^{\frac14}}=\frac1{\sqrt[4]{z}}$ (для вещественных значений требуется $z>0$).
Переводим корни в степени и складываем показатели одинакового основания: $\sqrt a\cdot\sqrt[3]a=a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}$. Для вещественных корней исходное выражение определено при $a\ge0$.
Представляем числитель как степень и вычитаем показатели: $\frac{\sqrt[4]{m}}{m^{\frac12}}=\frac{m^{\frac14}}{m^{\frac12}}=m^{\frac14-\frac12}=m^{-\frac14}=\frac1{\sqrt[4]{m}}$, при $m>0$.
Преобразуем корень в степень и приводим показатели к знаменателю 6: $\sqrt[6]{n^5}\cdot n^{\frac13}=n^{\frac56}\cdot n^{\frac26}=n^{\frac76}$. Для вещественных значений требуется $n\ge0$.

Ответ: а) $y^{\frac23}$; б) $\frac1{\sqrt[4]{z}}$; в) $a^{\frac56}$; г) $\frac1{\sqrt[4]{m}}$; д) $n^{\frac76}$.