Преобразование тригонометри B1 1. Упростить: a) cos²t-(ctg²+1) sin²t= б) sin (-a) ctg(-a) cos (360°-a) tg(180°+a) ¿ = ¿ B) (cos75°-sin75°)²= 5 π г) cos cos 3π +sin 5 π sin 3π = 8 8 8 8 2. Доказать тождество: sin't (1+ctgt)+cos³t (1+tgt)=sint+cost

Question

Вопрос:

Преобразование тригонометри B1 1. Упростить: a) cos²t-(ctg²+1) sin²t= б) sin (-a) ctg(-a) cos (360°-a) tg(180°+a) ¿ = ¿ B) (cos75°-sin75°)²= 5 π г) cos cos 3π +sin 5 π sin 3π = 8 8 8 8 2. Доказать тождество: sin't (1+ctgt)+cos³t (1+tgt)=sint+cost

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет, юный любитель тригонометрии! Сейчас разберемся с этими задачками.

Краткое пояснение: Упрощаем выражения, используя основные тригонометрические тождества и свойства функций.

1. Упростить:

a) cos²t-(ctg²+1)⋅sin²t=

Давай упростим это выражение, используя основное тригонометрическое тождество и определение котангенса:

ctg²t + 1 = 1/sin²t
cos²t - (1/sin²t) ⋅ sin²t = cos²t - 1
cos²t - 1 = -sin²t

Ответ: -sin²t

б) sin(-α)⋅ctg(-α) / cos(360°-α)⋅tg(180°+α) =

Здесь нам понадобятся свойства тригонометрических функций для углов разных четвертей:

sin(-α) = -sin(α)
ctg(-α) = -ctg(α)
cos(360°-α) = cos(α)
tg(180°+α) = tg(α)

Тогда выражение принимает вид: \[ \frac{-sin(α) \cdot (-ctg(α))}{cos(α) \cdot tg(α)} = \frac{sin(α) \cdot ctg(α)}{cos(α) \cdot tg(α)} \] Теперь вспомним, что ctg(α) = cos(α)/sin(α) и tg(α) = sin(α)/cos(α): \[ \frac{sin(α) \cdot \frac{cos(α)}{sin(α)}}{cos(α) \cdot \frac{sin(α)}{cos(α)}} = \frac{cos(α)}{sin(α)} = ctg(α) \]

Ответ: ctg(α)

в) (cos75° - sin75°)² =

Раскроем квадрат разности:

(cos75° - sin75°)² = cos²75° - 2⋅cos75°⋅sin75° + sin²75°
Вспомним, что cos²α + sin²α = 1, и 2⋅sinα⋅cosα = sin2α:
= 1 - sin(2⋅75°) = 1 - sin(150°)
sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2
= 1 - 1/2 = 1/2

Ответ: 1/2

г) cos(5π/8)⋅cos(3π/8) + sin(5π/8)⋅sin(3π/8) =

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

cos(α + β) = cosα⋅cosβ - sinα⋅sinβ
В нашем случае нужно cos(α - β) = cosα⋅cosβ + sinα⋅sinβ
cos(5π/8)⋅cos(3π/8) + sin(5π/8)⋅sin(3π/8) = cos(5π/8 - 3π/8)
= cos(2π/8) = cos(π/4) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

2. Доказать тождество:

sin³t⋅(1+ctgt) + cos³t⋅(1+tgt) = sint + cost

Преобразуем левую часть выражения:

sin³t⋅(1 + ctgt) + cos³t⋅(1 + tgt) = sin³t + sin³t⋅ctgt + cos³t + cos³t⋅tgt
= sin³t + sin³t⋅(cos t / sin t) + cos³t + cos³t⋅(sin t / cos t)
= sin³t + sin²t⋅cos t + cos³t + cos²t⋅sin t
= sin³t + cos³t + sin²t⋅cos t + cos²t⋅sin t
= (sin³t + cos³t) + sin t⋅cos t⋅(sin t + cos t)
Вспомним формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
= (sin t + cos t)(sin²t - sin t⋅cos t + cos²t) + sin t⋅cos t⋅(sin t + cos t)
= (sin t + cos t)(1 - sin t⋅cos t) + sin t⋅cos t⋅(sin t + cos t)
Вынесем (sin t + cos t) за скобки:
= (sin t + cos t)(1 - sin t⋅cos t + sin t⋅cos t)
= (sin t + cos t)⋅1 = sin t + cos t

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано

Result Card

Статус: Триго-мастер

Экономия ресурса: Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Social Boost: Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей