Преобразовать в произведение (13-22). 13.3 cos 20° sin 20 5 sin 65° + cos 65° 14. 5 sin 10° + 2 sin 5º cos 15° + cos 50°. 15. 2 cos a + cos 3a. 17.51-√2 cosa. 19.41+ 2 cos a + cos 2a. 16. 2 sina + cos a. 18.5 tga + √3. 20. 6 cos 2α cos 3a - cos 4a + cos 5α. 21.7 sin 5x + sin 6a + sin 7x + sin 8a. 22.8 sin 3a cos 4a sin a cos 2α,

13. \[ \frac{\cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 65^\circ + \cos 65^\circ} \]

• Преобразуем числитель: \[ \cos 20^\circ - \sin 20^\circ = \sqrt{2} \cos (20^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \cos 65^\circ \]
• Преобразуем знаменатель: \[ \sin 65^\circ + \cos 65^\circ = \sqrt{2} \sin (65^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 110^\circ = \sqrt{2} \cos 20^\circ \]
• Итого: \[ \frac{\sqrt{2} \cos 65^\circ}{\sqrt{2} \cos 20^\circ} = \frac{\cos 65^\circ}{\cos 20^\circ} \]

14. \[\sin 10^\circ + 2 \sin 5^\circ \cos 15^\circ + \cos 50^\circ \]

• Преобразуем: \[ 2 \sin 5^\circ \cos 15^\circ = \sin (5^\circ + 15^\circ) + \sin (5^\circ - 15^\circ) = \sin 20^\circ + \sin (-10^\circ) = \sin 20^\circ - \sin 10^\circ \]
• Итого: \[ \sin 10^\circ + \sin 20^\circ - \sin 10^\circ + \cos 50^\circ = \sin 20^\circ + \cos 50^\circ = \sin 20^\circ + \sin 40^\circ \]
• Преобразуем: \[ \sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ - 40^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos (-10^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10^\circ = \cos 10^\circ \]

15. \[\cos \alpha + \cos 3\alpha\]

• Преобразуем: \[ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos (-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha \]

16. \[\sin \alpha + \cos \alpha\]

• Преобразуем: \[ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + 45^\circ) \]

17. \([1 - \sqrt{2} \cos \alpha\]

18. \[\tan \alpha + \sqrt{3}\]

• Преобразуем: \[ \tan \alpha + \tan 60^\circ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\sin \alpha \cos 60^\circ + \cos \alpha \sin 60^\circ}{\cos \alpha \cos 60^\circ} = \frac{\sin (\alpha + 60^\circ)}{\cos \alpha \cos 60^\circ} = \frac{2 \sin (\alpha + 60^\circ)}{\cos \alpha} \]

19. \([1 + 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha\]

• Преобразуем: \[ 1 + 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos \alpha + (1 + \cos 2\alpha) = 2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha = 2 \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

20. \[ \cos 2\alpha - \cos 3\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha\]

• Преобразуем: \[ (\cos 5\alpha + \cos 2\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 3\alpha) = 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} - 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cos \frac{7\alpha}{2} (\cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 2 \cos \frac{7\alpha}{2} (-2) \sin \frac{\frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2} \sin \frac{\frac{3\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2} = -4 \cos \frac{7\alpha}{2} \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2}\]

21. \[ \sin 5\alpha + \sin 6\alpha + \sin 7\alpha + \sin 8\alpha\]

• Преобразуем: \[ (\sin 8\alpha + \sin 5\alpha) + (\sin 7\alpha + \sin 6\alpha) = 2 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} + 2 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{13\alpha}{2} (\cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}) = 2 \sin \frac{13\alpha}{2} (2 \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2} \]

22. \[ \sin 3\alpha \cos 4\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha\]

• Преобразуем: \[ \frac{1}{2} (\sin 7\alpha - \sin \alpha) - \frac{1}{2} (\sin 3\alpha + \sin \alpha) = \frac{1}{2} (\sin 7\alpha - \sin 3\alpha - 2 \sin \alpha) = \frac{1}{2} (2 \cos 5\alpha \sin 2\alpha - 2 \sin \alpha) = \cos 5\alpha \sin 2\alpha - \sin \alpha = \cos 5\alpha (2 \sin \alpha \cos \alpha) - \sin \alpha = \sin \alpha (2 \cos 5\alpha \cos \alpha - 1) \]