Преобразуем в рациональную дробь выражение \(x+1-\frac{1}{x+2}:\frac{x^2-4}{x}\).

Сначала выполним деление дробей. Разложим разность квадратов: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

\[\frac{1}{x+2}:\frac{x^2-4}{x}=\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{(x+2)^2(x-2)}.\]

Приведём выражение к общему знаменателю:

\[x+1-\frac{x}{(x+2)^2(x-2)}=\frac{(x+1)(x+2)^2(x-2)-x}{(x+2)^2(x-2)}.\]

После раскрытия скобок получаем:

\[\frac{x^4+3x^3-2x^2-13x-8}{(x+2)^2(x-2)}.\]

В исходном выражении \(x\ne -2,0,2\).

Ответ: \(\frac{x^4+3x^3-2x^2-13x-8}{(x+2)^2(x-2)}\), где \(x\ne -2,0,2\).