Преобразуй выражение в многочлен: (2+5r)(4-10r+25r^2)

Решение:

Это задание на раскрытие скобок. Можно заметить, что выражение похоже на формулу куба суммы или разности. Давайте проверим:

Формула куба суммы: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Формула куба разности: \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

В нашем случае есть выражение \( (2+5r)(4-10r+25r^2) \).

Давайте попробуем представить его в виде \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) \), что равно \( a^3 + b^3 \).

Если \( a = 2 \) и \( b = 5r \), то:

• \( a^2 = 2^2 = 4 \)
• \( ab = 2 \cdot 5r = 10r \)
• \( b^2 = (5r)^2 = 25r^2 \)

Получаем: \( (2+5r)(4 - 10r + 25r^2) \). Это точно соответствует формуле суммы кубов!

Значит, результат будет \( a^3 + b^3 \):

\[ 2^3 + (5r)^3 = 8 + 125r^3 \]

Среди предложенных вариантов есть этот. Теперь проверим второй вариант:

Второе выражение: \( (2t^2 - q)(t^2 + q) \)

Это формула разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

В нашем случае \( a = 2t^2 \) и \( b = q \).

Тогда:

\[ (2t^2 - q)(2t^2 + q) = (2t^2)^2 - q^2 = 4t^4 - q^2 \]

А в вариантах ответа есть \( 2t^4 + qt^2 - q^2 \), \( -4t^4 + qt^3 - q^2 \), \( 22t^4 + qt^4 + q^8 \), \( -2t^4 + qt^2 - q^2 \).

Проверим раскрытие скобок второго выражения напрямую:

\[ (2t^2 - q)(t^2 + q) = 2t^2 \cdot t^2 + 2t^2 \cdot q - q \cdot t^2 - q \cdot q \]

\[ = 2t^4 + 2t^2q - t^2q - q^2 \]

\[ = 2t^4 + t^2q - q^2 \]

Это также не совпадает с предложенными вариантами. Возможно, во втором задании была ошибка в условиях или в вариантах ответа. Но первое задание выполнено верно.

Ответ: 8 + 125r³.