Преобразуйте дробь так, чтобы знаменатель не содержал корень: а) (a² − 3)/(a + √3); б) (√(3 + 3))/(√3); в) (√(2x) − √(2y))/(³√x − ³√y); г) (5 + √10)/(√10); д) √(a + 1)/(a + √a).

а) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(a-\sqrt3\): \(\dfrac{a^2-3}{a+\sqrt3}=\dfrac{(a^2-3)(a-\sqrt3)}{a^2-3}=a-\sqrt3\), если \(a+\sqrt3\ne0\).

б) В числителе под корнем записано \(3+3\).\) Тогда \(\dfrac{\sqrt{3+3}}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2\).

в) Домножим на \(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}\). В знаменателе применяем формулу \((u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3\), где \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\): \(x-y\). Получаем \(\dfrac{(\sqrt{2x}-\sqrt{2y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})}{x-y}\) (при \(x\ne y\)).

г) Домножим на \(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\): \(\dfrac{(5+\sqrt{10})\sqrt{10}}{10}=\dfrac{5\sqrt{10}+10}{10}=\dfrac{\sqrt{10}+2}{2}\).

д) В знаменателе вынесем \(\sqrt a\): \(a+\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a+1)\). Чтобы устранить корень, домножим дробь на \(\dfrac{\sqrt a(\sqrt a+1)}{\sqrt a(\sqrt a+1)}\): \(\dfrac{\sqrt{a+1}(\sqrt a+1)}{a(\sqrt a+1)}\). В знаменателе остаётся корень, поэтому это не рационализация. Домножим дополнительно на \(\dfrac{\sqrt a-1}{\sqrt a-1}\): \(\dfrac{\sqrt{a+1}(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)}{a(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)}=\dfrac{\sqrt{a+1}(a-1)}{a(a-1)}=\dfrac{\sqrt{a+1}}a\), при допустимых значениях \(a>0\), \(a\ne1\). При \(a=1\) исходная дробь равна \(\frac12\).