1. Преобразуйте в многочлен: a) (2a-1)2; в) (7-x) (7 + x) 2. Упростите выражение - a) (x + 5)2-5x(2 – x); 3. Разложите на множители: a) 81 - a²; б) 5x2-5y2 ; 4. Упростите выражение (a² + 4a)2 - a²(a - 2)(a + 2) - 4a²(2a-1) 5. Разложите на множители: a) (x - 2)2-16;

Решение:

1. Преобразуйте в многочлен:

a) $$(2a-1)^2$$

• Применим формулу сокращенного умножения: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
• $$(2a-1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$$

Ответ: $$4a^2 - 4a + 1$$

в) $$(7-x)(7+x)$$

• Применим формулу сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$
• $$(7-x)(7+x) = 7^2 - x^2 = 49 - x^2$$

Ответ: $$49 - x^2$$

2. Упростите выражение:

а) $$(x + 5)^2 - 5x(2 – x)$$

• Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ и распределительное свойство умножения:
• $$(x + 5)^2 - 5x(2 – x) = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - (5x \cdot 2 - 5x \cdot x) = x^2 + 10x + 25 - (10x - 5x^2) = x^2 + 10x + 25 - 10x + 5x^2$$
• Приведем подобные члены:
• $$x^2 + 10x + 25 - 10x + 5x^2 = (x^2 + 5x^2) + (10x - 10x) + 25 = 6x^2 + 25$$

Ответ: $$6x^2 + 25$$

3. Разложите на множители:

a) $$81 - a^2$$

• Применим формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
• $$81 - a^2 = 9^2 - a^2 = (9 - a)(9 + a)$$

Ответ: $$(9 - a)(9 + a)$$

б) $$5x^2 - 5y^2$$

• Вынесем общий множитель за скобки:
• $$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2)$$
• Применим формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
• $$5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y)$$

Ответ: $$5(x - y)(x + y)$$

4. Упростите выражение:

$$(a^2 + 4a)^2 - a^2(a - 2)(a + 2) - 4a^2(2a-1)$$

• Раскроем скобки:
• $$(a^2 + 4a)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4a + (4a)^2 = a^4 + 8a^3 + 16a^2$$
• $$a^2(a - 2)(a + 2) = a^2(a^2 - 4) = a^4 - 4a^2$$
• $$4a^2(2a - 1) = 8a^3 - 4a^2$$
• Подставим полученные выражения в исходное:
• $$a^4 + 8a^3 + 16a^2 - (a^4 - 4a^2) - (8a^3 - 4a^2) = a^4 + 8a^3 + 16a^2 - a^4 + 4a^2 - 8a^3 + 4a^2$$
• Приведем подобные члены:
• $$a^4 + 8a^3 + 16a^2 - a^4 + 4a^2 - 8a^3 + 4a^2 = (a^4 - a^4) + (8a^3 - 8a^3) + (16a^2 + 4a^2 + 4a^2) = 24a^2$$

Ответ: $$24a^2$$

5. Разложите на множители:

a) $$(x - 2)^2 - 16$$

• Представим 16 как квадрат числа:
• $$(x - 2)^2 - 16 = (x - 2)^2 - 4^2$$
• Применим формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
• $$(x - 2)^2 - 4^2 = ((x - 2) - 4)((x - 2) + 4) = (x - 2 - 4)(x - 2 + 4) = (x - 6)(x + 2)$$

Ответ: $$(x - 6)(x + 2)$$