Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: a) (y+2)(y+3)(y+4); б) (m+n)(m-n)(2n+3m).

Решение:

а) Раскроем скобки:

\( (y+2)(y+3)(y+4) \)

Сначала перемножим первые две скобки:

\( (y^2 + 3y + 2y + 6)(y+4) = (y^2 + 5y + 6)(y+4) \)

Теперь умножим полученный многочлен на \( (y+4) \):

\( y^2(y+4) + 5y(y+4) + 6(y+4) = y^3 + 4y^2 + 5y^2 + 20y + 6y + 24 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( y^3 + (4y^2 + 5y^2) + (20y + 6y) + 24 = y^3 + 9y^2 + 26y + 24 \)

б) Раскроем скобки:

\( (m+n)(m-n)(2n+3m) \)

Воспользуемся формулой разности квадратов \( (m+n)(m-n) = m^2 - n^2 \):

\( (m^2 - n^2)(2n+3m) \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( m^2(2n+3m) - n^2(2n+3m) = 2m^2n + 3m^3 - 2n^3 - 3mn^2 \)

Переставим слагаемые в порядке убывания степеней \( m \):

\( 3m^3 + 2m^2n - 3mn^2 - 2n^3 \)

Ответ: а) \( y^3 + 9y^2 + 26y + 24 \); б) \( 3m^3 + 2m^2n - 3mn^2 - 2n^3 \).