1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: a) (3a+2b)² + (3a-2b)(3a + 2b)+2ab; б) 6(1-2n)(1+2n+4n²)+8(6n³ -1). 2. Разложите на множители: a) 2x(y+2x)-5y(y+2x); б) а²-2a+1-y²-2yz-z². 3. Докажите тождество: a4-1664 = (a-2b)(a+2b)(a² + b²). 3 4. Решите уравнение: у° + y³ +3y²-4y-12=0. 5. Докажите, что при любых значениях х выражение x²+y²-4x-2y+5 принимает неотрицательные значения.

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) \((3a+2b)^2 + (3a-2b)(3a + 2b)+2ab\)

1. \((3a+2b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2\)
2. \((3a-2b)(3a+2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2\)
3. \(9a^2 + 12ab + 4b^2 + 9a^2 - 4b^2 + 2ab = 18a^2 + 14ab\)

Ответ: \(18a^2 + 14ab\)

б) \(6(1-2n)(1+2n+4n^2)+8(6n^3 -1)\)

1. \((1-2n)(1+2n+4n^2) = 1^3 - (2n)^3 = 1 - 8n^3\)
2. \(6(1 - 8n^3) + 8(6n^3 - 1) = 6 - 48n^3 + 48n^3 - 8 = -2\)

Ответ: -2

2. Разложите на множители:

а) \(2x(y+2x)-5y(y+2x)\)

1. \(2x(y+2x)-5y(y+2x) = (y+2x)(2x-5y)\)

Ответ: \((y+2x)(2x-5y)\)

б) \(a^2-2a+1-y^2-2yz-z^2\)

1. \(a^2-2a+1-y^2-2yz-z^2 = (a^2-2a+1)-(y^2+2yz+z^2) = (a-1)^2 - (y+z)^2\)
2. \((a-1)^2 - (y+z)^2 = (a-1-(y+z))(a-1+(y+z)) = (a-1-y-z)(a-1+y+z)\)

Ответ: \((a-1-y-z)(a-1+y+z)\)

3. Докажите тождество: \(a^4-16b^4 = (a-2b)(a+2b)(a^2 + 4b^2)\)

1. \(a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)\)
2. \((a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a-2b)(a+2b)(a^2 + 4b^2)\)

Следовательно, тождество доказано.

4. Решите уравнение: \(y^3 + 3y^2 - 4y - 12 = 0\)

1. \(y^3 + 3y^2 - 4y - 12 = y^2(y+3) - 4(y+3) = (y^2-4)(y+3)\)
2. \((y^2-4)(y+3) = 0\)
3. \(y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2\)
4. \(y+3 = 0 \implies y = -3\)

Ответ: \(y = -3, -2, 2\)

5. Докажите, что при любых значениях х выражение \(x^2+y^2-4x-2y+5\) принимает неотрицательные значения.

1. \(x^2+y^2-4x-2y+5 = (x^2-4x+4) + (y^2-2y+1) = (x-2)^2 + (y-1)^2\)

Т.к. \((x-2)^2 \ge 0\) и \((y-1)^2 \ge 0\) при любых x и y, то и их сумма неотрицательна. Значит, выражение \(x^2+y^2-4x-2y+5\) принимает неотрицательные значения.