Преобразуйте выражение в многочлен: a) (x - 5a)(5a + x); б) (х - 5а)²; в) (х - 5а)³; г) (х - 5у + 2)²; д) (х - 5у)(x² + 5xy + 25y²). Разложите на множители выражение: a) 36a² – 169b²; б) 25x² + 64y² - 80xy; в) 125х³ - 27α³; г) а³ + За² + 3a + 1; д) 128а² + b². При каких значениях переменной значения выражений х(х – 4) и (х - 6)(х + 6) равны? Найдите значение выражения 3(4a - b)² 2(a b)(a + b) + + 4(a + 3b)² при а = -0,2 и b = -1. Решите уравнение: a) (x + 2)(x²-2x+4) x(x + 2)(x - 2) = 12; 6) x³ + 8 + 2x(x + 2) = 0. Разложите на множители выражение: a) a² + b² + c² 2ab + 2bc - 2ac; 6) 9x³ + 3x² + 3x + 1. Докажите, что многочлен х²-2x + y² 4y + 6 при любых зна- чениях входящих в него переменных принимает положитель- ные значения.

Решение:

Преобразуйте выражение в многочлен:

a) \((x - 5a)(5a + x) = x^2 - 25a^2\)

б) \((x - 5a)^2 = x^2 - 10ax + 25a^2\)

в) \((x - 5a)^3 = x^3 - 15ax^2 + 75a^2x - 125a^3\)

г) \((x - 5y + 2)^2 = x^2 + 25y^2 + 4 - 10xy + 4x - 20y\)

д) \((x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) = x^3 - 125y^3\)

Разложите на множители выражение:

a) \(36a^2 - 169b^2 = (6a - 13b)(6a + 13b)\)

б) \(25x^2 + 64y^2 - 80xy = (5x - 8y)^2\)

в) \(125x^3 - 27a^3 = (5x - 3a)(25x^2 + 15ax + 9a^2)\)

г) \(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3\)

д) \(128a^7 + b^7\) - это выражение не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

При каких значениях переменной значения выражений \(x(x - 4)\) и \((x - 6)(x + 6)\) равны?

\[ x(x - 4) = (x - 6)(x + 6)\\ x^2 - 4x = x^2 - 36\\ -4x = -36\\ x = 9 \]

Найдите значение выражения \(3(4a - b)^2 - 2(a - b)(a + b) + 4(a + 3b)^2\) при \(a = -0.2\) и \(b = -1\).

\[ 3(4a - b)^2 - 2(a - b)(a + b) + 4(a + 3b)^2 = \\ 3(16a^2 - 8ab + b^2) - 2(a^2 - b^2) + 4(a^2 + 6ab + 9b^2) = \\ 48a^2 - 24ab + 3b^2 - 2a^2 + 2b^2 + 4a^2 + 24ab + 36b^2 = \\ 50a^2 + 41b^2 \]

Подставим значения \(a = -0.2\) и \(b = -1\):

\[ 50(-0.2)^2 + 41(-1)^2 = 50(0.04) + 41 = 2 + 41 = 43 \]

Решите уравнение:

a) \((x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x + 2)(x - 2) = 12\)

\[ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x + 2)(x - 2) = 12\\ x^3 + 8 - x(x^2 - 4) = 12\\ x^3 + 8 - x^3 + 4x = 12\\ 4x = 4\\ x = 1 \]

б) \(x^3 + 8 + 2x(x + 2) = 0\)

\[ x^3 + 8 + 2x^2 + 4x = 0\\ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 2x(x + 2) = 0\\ (x + 2)(x^2 - 2x + 4 + 2x) = 0\\ (x + 2)(x^2 + 4) = 0 \]

Так как \(x^2 + 4 > 0\) для всех действительных \(x\), то:

\[ x + 2 = 0\\ x = -2 \]

Разложите на множители выражение:

a) \(a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ac = (a - b - c)^2\)

б) \(9x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) - это выражение не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Докажите, что многочлен \(x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6\) при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

\[ x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \]

Так как \((x - 1)^2 \geq 0\) и \((y - 2)^2 \geq 0\) для всех действительных \(x\) и \(y\), то \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \geq 1 > 0\). Следовательно, многочлен всегда принимает положительные значения.

Ответ: Решения выше.

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!