756 Преобразуйте выражение: a) 1 - sin² a - cos² a; 6) cos² a - (1 - 2 sin² a). 757 Упростите выражение: a) sin a cos a tga; г) 1-sin² a cos² a б) sin a cos a ctg a - 1; cos² a д) cos² a-1 B) sin2 a - tg a ctg a; e) 1-cos² a 1- sin² a 758 Упростите выражение: a) sin² a + cos2 a + tg² a; 6) tg a ctg a + ctg² a. 759 Преобразуйте выражение: a) sin a ctg α; B) sin a tg a д) tg a + ctg a б) tg a cos a; r) tg a ctg a - 1; e) sin² a- 1-cos²

Ответ: Решения ниже

756 Преобразуйте выражение:

a) \( 1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \)

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• Тогда, \( 1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - 1 = 0 \)

б) \( \cos^2 \alpha - (1 - 2 \sin^2 \alpha) \)

• Раскрываем скобки: \( \cos^2 \alpha - 1 + 2 \sin^2 \alpha \)
• Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \)
• \( \cos^2 \alpha - 1 + 2(1 - \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - 1 + 2 - 2 \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)

Ответ: a) 0; б) \( \sin^2 \alpha \)

757 Упростите выражение:

a) \( \sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha \)

• Вспоминаем, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( \sin \alpha \cos \alpha \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin^2 \alpha \)

г) \( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \)
• \( \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 \)

д) \( \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1} \)

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \)
• \( \frac{\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} = -\cot^2 \alpha \)

e) \( \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} \)

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \) и \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \)
• \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \)

Ответ: a) \( \sin^2 \alpha \); г) 1; д) \( -\cot^2 \alpha \); e) \( \tan^2 \alpha \)

758 Упростите выражение:

a) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \)

• Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

б) \( \tan \alpha \cot \alpha + \cot^2 \alpha \)

• Вспоминаем, что \( \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} \)
• \( \tan \alpha \cot \alpha = 1 \)
• \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)

Ответ: a) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \); б) \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)

759 Преобразуйте выражение:

a) \( \sin \alpha \cot \alpha \)

• Вспоминаем, что \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \sin \alpha \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \)

в) \( \frac{\sin \alpha}{\tan \alpha} \)

• Вспоминаем, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \cos \alpha \)

д) \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \)

• Вспоминаем, что \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \) и \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)
• \( \frac{\tan \alpha}{\frac{1}{\tan \alpha}} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

б) \( \tan \alpha \cos \alpha \)

• Вспоминаем, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cos \alpha = \sin \alpha \)

г) \( \tan \alpha \cot \alpha - 1 \)

• Вспоминаем, что \( \tan \alpha \cot \alpha = 1 \)
• \( 1 - 1 = 0 \)

e) \( \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \)

• Вспоминаем, что \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)
• \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 \)

Ответ: a) \( \cos \alpha \); в) \( \cos \alpha \); д) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \); б) \( \sin \alpha \); г) 0; e) 1

Ответ: Решения выше