2. Преобразуйте выражения: 1) sinx.ctgx; 2) cos.xtgx; 3) sin x / tgx; 4) (tgx / ctgx) +1; 5) (sin²x-1) / (1-cos²x).

Привет! Разбираемся с тригонометрическими выражениями. Сейчас упростим каждый пример по шагам.

1) \( \sin x \cdot \operatorname{ctg} x \)

1. \( \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
2. \( \sin x \cdot \operatorname{ctg} x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \)

Ответ: \( \cos x \)

2) \( \cos x \cdot \operatorname{tg} x \)

1. \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
2. \( \cos x \cdot \operatorname{tg} x = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \)

Ответ: \( \sin x \)

3) \( \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} \)

1. \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
2. \( \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \)

Ответ: \( \cos x \)

4) \( \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{ctg} x} + 1 \)

1. \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
2. \( \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{ctg} x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x \)
3. \( \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{ctg} x} + 1 = \operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \)

Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 x} \) или \( 1 + \operatorname{tg}^2 x \)

5) \( \frac{\sin^2 x - 1}{1 - \cos^2 x} \)

1. \( \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x \)
2. \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \)
3. \( \frac{\sin^2 x - 1}{1 - \cos^2 x} = \frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg}^2 x \)

Ответ: \( -\operatorname{ctg}^2 x \)