2. През точка М, Външна за окръжност, са построени допирателна МТ и секущи MBA и MCD, kamo AB = 5, MC = 2 u CD = 4 MB. Намерете дължините на допирателната и секущите.

Решение:

• Нека \(MB = x\). Тогава, според условието, имаме \(AB = 5\), \(MC = 2\) и \(CD = 4MB = 4x\).
• Тогава \(MA = MB + AB = x + 5\) и \(MD = MC + CD = 2 + 4x\).
• Имаме свойството на секущите: \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\), т.е. \((x + 5)x = 2(2 + 4x)\).
• Разкриваме скобите и получаваме: \(x^2 + 5x = 4 + 8x\), което води до \(x^2 - 3x - 4 = 0\).
• Решаваме квадратното уравнение: \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Дискриминантата е \(D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\), т.е. \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1\).
• Тъй като дължината не може да бъде отрицателна, избираме \(x = 4\). Следователно \(MB = 4\).
• Тогава \(MA = MB + AB = 4 + 5 = 9\). Също така, \(MC = 2\) и \(MD = MC + CD = 2 + 4 \cdot MB = 2 + 4 \cdot 4 = 2 + 16 = 18\).
• Имаме свойството на допирателната и секущата: \(MT^2 = MB \cdot MA\). Следователно \(MT^2 = 4 \cdot 9 = 36\), т.е. \(MT = \sqrt{36} = 6\).

Отговор: Дължината на допирателната е 6, дължината на секущата MBA е 9, а на секущата MCD е 18.