362 При двукратном бросании игральной кости сумма вы Найдите условную вероятность события: а) «в первый раз выпадет 3 очка»; б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»; в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»: г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков».

а) «в первый раз выпадет 3 очка»

Событие A: в первый раз выпадет 3 очка.

Событие B: сумма выпавших очков известна (не указана в условии). Предположим, что известна сумма S.

• Вероятность события A (выпадение 3 очков в первый раз): \( P(A) = \frac{1}{6} \)

Теперь нам нужно найти условную вероятность \( P(A|B) \), то есть вероятность того, что в первый раз выпадет 3 очка при условии, что сумма равна S.

Если сумма равна S, то во второй раз должно выпасть S-3 очка. Это возможно, только если \( 1 \le S-3 \le 6 \), то есть \( 4 \le S \le 9 \).

Если это условие выполняется, то условная вероятность равна:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

• \( P(A \cap B) \) - вероятность того, что в первый раз выпадет 3 очка, и сумма равна S. Это возможно только в одном случае: (3, S-3). Таким образом, \( P(A \cap B) = \frac{1}{36} \)
• \( P(B) \) - вероятность того, что сумма равна S. Это зависит от значения S.

б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»

Событие A: при одном из бросков выпадет 3 очка.

Событие B: сумма выпавших очков известна (не указана в условии). Предположим, что известна сумма S.

Событие A может произойти в двух случаях: (3, x) или (x, 3), где x - любое число от 1 до 6.

Нам нужно найти условную вероятность \( P(A|B) \).

Считаем, что сумма известна и равна S.

Событие A выполняется, если выпала комбинация (3, S-3) или (S-3, 3).

Если \( 4 \le S \le 9 \), то существует такая комбинация.

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

• \( P(A \cap B) \) - вероятность того, что при одном из бросков выпадет 3 очка, и сумма равна S.

Комбинации (3, S-3) и (S-3, 3) могут быть различными, если S-3 не равно 3 (то есть S не равно 6). Если S=6, то комбинация только одна (3,3).

• \( P(B) \) - вероятность того, что сумма равна S.

в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»

Событие A: в первый раз выпадет меньше 5 очков (то есть 1, 2, 3 или 4).

Событие B: сумма выпавших очков известна (не указана в условии). Предположим, что известна сумма S.

Нам нужно найти условную вероятность \( P(A|B) \).

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

• \( P(A \cap B) \) - вероятность того, что в первый раз выпадет 1, 2, 3 или 4, и сумма равна S.

Эта вероятность зависит от значения S. Если S маленькое (например, 2), то событие A не может произойти. Если S большое (например, 12), то событие A произойдет всегда.

• \( P(B) \) - вероятность того, что сумма равна S.

г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков»

Событие A: во второй раз выпадет меньше 2 очков (то есть только 1).

Событие B: сумма выпавших очков известна (не указана в условии). Предположим, что известна сумма S.

Нам нужно найти условную вероятность \( P(A|B) \).

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

• \( P(A \cap B) \) - вероятность того, что во второй раз выпадет 1, и сумма равна S.

Эта вероятность зависит от значения S. Если S=1, то событие A не может произойти, так как минимальное значение первого броска равно 1.

Если во второй раз выпало 1, то в первый раз должно выпасть S-1 очков. Это возможно, только если \( 1 \le S-1 \le 6 \), то есть \( 2 \le S \le 7 \).

• \( P(B) \) - вероятность того, что сумма равна S.