При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность события: a) «в первый раз выпадет 5 очков»; б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»; в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»; г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка».

Решение:

Игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При двукратном бросании общее число исходов равно \( 6 \times 6 = 36 \). Сумма выпавших очков равна 9. Найдем все пары, в сумме дающие 9:

• (3, 6)


• (4, 5)


• (5, 4)


• (6, 3)

Таким образом, есть 4 благоприятных исхода, где сумма равна 9. Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9, равна \( P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).

а) «в первый раз выпадет 5 очков»

Пусть событие A — сумма выпавших очков равна 9. Пусть событие B — в первый раз выпадет 5 очков. Нам нужно найти условную вероятность \( P(B|A) \).

Благоприятные исходы для события A (сумма = 9): (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).

Среди этих исходов, исход, где в первый раз выпадет 5 очков, это (5, 4). Таким образом, есть 1 благоприятный исход.

Условная вероятность равна:

\[ P(B|A) = \frac{\text{Число исходов, где в первый раз выпало 5 и сумма равна 9}}{\text{Число исходов, где сумма равна 9}} = \frac{1}{4} \]

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»

Пусть событие C — при одном из бросков выпадет 4 очка.

Среди исходов, где сумма равна 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).

Исходы, где присутствует 4 очка: (4, 5) и (5, 4). Таких исходов 2.

Условная вероятность равна:

\[ P(C|A) = \frac{\text{Число исходов, где выпало 4 и сумма равна 9}}{\text{Число исходов, где сумма равна 9}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»

Пусть событие D — в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй.

Среди исходов, где сумма равна 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).

Исход, где в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй: (3, 6) и (4, 5). Таких исходов 2.

Условная вероятность равна:

\[ P(D|A) = \frac{\text{Число исходов, где в первый раз меньше, чем во второй, и сумма равна 9}}{\text{Число исходов, где сумма равна 9}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка»

Пусть событие E — во второй раз выпадет меньше чем 3 очка (то есть 1 или 2).

Среди исходов, где сумма равна 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).

Исход, где во второй раз выпадет меньше чем 3 очка: (6, 3). Такой исход 1.

Условная вероятность равна:

\[ P(E|A) = \frac{\text{Число исходов, где во второй раз меньше 3 и сумма равна 9}}{\text{Число исходов, где сумма равна 9}} = \frac{1}{4} \]

Ответ: а) \( \frac{1}{4} \); б) \( \frac{1}{2} \); в) \( \frac{1}{2} \); г) \( \frac{1}{4} \).