При игре в крокет на лужайке однородный дубовый шар массой m = 454 г закатился в ямку с водой (см. рисунок), при этом половина шара оказалась в воде. Определите плотность дерева, если шар давит на ровное дно ямки с силой F = 1,66 Н. Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на шар.

Решение:

1. Перевод единиц: Масса шара m = 454 г = 0.454 кг. Ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с².
2. Силы, действующие на шар:
   1. Сила тяжести (P), направленная вертикально вниз.
   2. Сила Архимеда (F_A), направленная вертикально вверх, выталкивающая шар из воды.
   3. Сила давления на дно ямки (F), направленная вертикально вниз.
3. Условие равновесия: Шар находится в состоянии покоя, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю. Так как половина шара находится в воде, сила Архимеда равна половине силы Архимеда, действующей на полностью погруженный шар.
4. Формулы:
   • Сила тяжести: P = m ∙ g
   • Сила Архимеда: F_A = ρ_воды ∙ g ∙ V_погр, где V_погр — объем погруженной части шара.
   • Так как погружена половина шара, V_погр = ½ ∙ V_шара.
   • Объем шара: V_шара = ⅛ ∙ π ∙ R³, где R — радиус шара.
5. Уравнение сил: P + F = F_A (шар давит на дно с силой F, значит, сила Архимеда меньше силы тяжести на величину F)
6. Подстановка и расчет:
   • P = 0.454 кг ∙ 9.8 м/с² ≈ 4.45 Н
   • 4.45 Н + 1.66 Н = F_A
   • F_A ≈ 6.11 Н
7. Нахождение объема погруженной части:½ ∙ V_шара = V_погр = √. (F_A / (ρ_воды ∙ g))
8. Плотность дерева: ρ_дерева = m / V_шара. Так как ½ ∙ V_шара = V_погр, то V_шара = 2 ∙ V_погр.
9. Расчет:½ ∙ V_шара = 6.11 Н / (1000 кг/м³ ∙ 9.8 м/с²) ≈ 0.000623 м³.
10. V_шара = 2 ∙ 0.000623 м³ = 0.001246 м³.
11. ρ_дерева = 0.454 кг / 0.001246 м³ ≈ 364.4 кг/м³.

Схематичный рисунок:

_AF

Ответ: 364.4 кг/м³