При исследовании стабильности раствора антибиотика установлено, что его активность А (в %) в зависимости от времени t (в месяцах) убывает по закону A(t) = 100 – 5t + 0.1t² на интервале [0, 24]. В какой момент времени скорость падения активности будет минимальной? (Подсказка: скорость падения активности — это |A'(t)|, но так как функция убывает, A'(t) < 0. Исследуйте саму производную на экстремум).

Решение:

Нам дана функция активности антибиотика \( A(t) = 100 - 5t + 0.1t^2 \) на интервале \( [0, 24] \). Нам нужно найти момент времени, когда скорость падения активности будет минимальной. Скорость падения активности — это \( |A'(t)| \). Так как функция убывает, \( A'(t) < 0 \). Следовательно, нам нужно минимизировать \( -A'(t) \), что эквивалентно максимизации \( A'(t) \).

1. Найдем первую производную функции \( A(t) \):
   \( A'(t) = \frac{d}{dt}(100 - 5t + 0.1t^2) = -5 + 0.2t \)
2. Теперь найдем вторую производную, чтобы исследовать экстремум \( A'(t) \):
   \( A''(t) = \frac{d}{dt}(-5 + 0.2t) = 0.2 \)
3. Так как \( A''(t) = 0.2 > 0 \) для всех \( t \), функция \( A'(t) \) является возрастающей.
4. Поскольку \( A'(t) \) возрастает на интервале \( [0, 24] \), ее минимальное значение будет на левом конце интервала (\( t=0 \)), а максимальное — на правом конце (\( t=24 \)).
5. Скорость падения активности — это \( |A'(t)| \). Мы хотим минимизировать \( |A'(t)| \).
6. Рассмотрим значения \( A'(t) \) на интервале \( [0, 24] \):
   При \( t=0 \), \( A'(0) = -5 + 0.2(0) = -5 \). Скорость падения \( |A'(0)| = |-5| = 5 \).
   При \( t=24 \), \( A'(24) = -5 + 0.2(24) = -5 + 4.8 = -0.2 \). Скорость падения \( |A'(24)| = |-0.2| = 0.2 \).
7. Так как \( A'(t) \) возрастает, \( |A'(t)| \) будет уменьшаться, пока \( A'(t) \) отрицательна. \( A'(t) = 0 \) при \( -5 + 0.2t = 0 \), что дает \( 0.2t = 5 \), \( t = \frac{5}{0.2} = 25 \).
8. Поскольку \( t = 25 \) находится вне интервала \( [0, 24] \), и \( A'(t) \) отрицательна на всем интервале \( [0, 24] \) (так как \( A'(24) = -0.2 \)), функция \( |A'(t)| = -A'(t) = 5 - 0.2t \) убывает на этом интервале.
9. Следовательно, минимальное значение \( |A'(t)| \) будет на правом конце интервала, то есть при \( t = 24 \).

Ответ: b. В момент времени t = 25 месяцев, но так как интервал [0, 24], то минимум скорости падения будет на правом конце интервала, при t=24.