При каких целых значениях \(a\) выражение \(\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}\) является целым?

Сначала учтём, что знаменатель не должен равняться нулю: \(a\ne0\).

Упростим числитель и разделим каждое слагаемое на \(a\):

\[\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}=\frac{a^2-4a+5}{a}=a-4+\frac{5}{a}.\]

При целом \(a\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{a}\) — целое число, то есть когда \(a\) является ненулевым делителем числа 5.

Ответ: \(a=-5,-1,1,5\).