При каких целых значениях \(m\) дробь \(\frac{(m-1)(m+1)-10}{m}\) принимает целые значения?

Знаменатель не должен быть равен нулю: \(m\ne0\).

Упростим числитель:

\[(m-1)(m+1)-10=m^2-1-10=m^2-11.\]

Тогда

\[\frac{m^2-11}{m}=m-\frac{11}{m}.\]

При целом \(m\) это выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{11}{m}\) является целым числом, то есть \(m\) — целый делитель числа 11.

Следовательно, \(m\in\{-11,-1,1,11\}\).

Ответ: \(m=-11,-1,1,11\).