При каких значениях а система уравнений { x^2 + y^2 = 1 { x - y = a имеет единственное решение.

Решение:

Система уравнений представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 1, и прямую линию \( y = x - a \). Для того чтобы система имела единственное решение, прямая должна касаться окружности. Расстояние от центра окружности \( (0, 0) \) до прямой \( x - y - a = 0 \) должно быть равно радиусу окружности, то есть 1.

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) равна: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).

В нашем случае \( x_0 = 0, y_0 = 0 \), \( A = 1, B = -1, C = -a \).

Подставляем значения в формулу:

\[ 1 = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} \]\[ \sqrt{2} = |a| \]\[ a = \sqrt{2} \text{ или } a = -\sqrt{2} \]

Проверка вариантов ответа:

• \( a \in \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\} \)
• \( a \in \{0; 4\} \)
• \( a \in \mathbb{R} \)
• \( a \in \{0; \sqrt{2}\} \)
• \( a \in \{0; 2\} \)

Из полученных значений \( a \) подходит первый вариант.

Ответ: a ∈ {−√2; √2}.