При каких значениях а система уравнений { x^2 + y^2 = 1 x - y = a имеет единственное решение.

Решение:

Система уравнений состоит из уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) (центр в начале координат, радиус \( R = 1 \)) и уравнения прямой \( x - y = a \), которое можно переписать как \( y = x - a \).

Для того чтобы система имела единственное решение, прямая \( y = x - a \) должна касаться окружности \( x^2 + y^2 = 1 \).

Рассмотрим два способа решения:

1. Геометрический способ:
   Расстояние от центра окружности \( (0,0) \) до прямой \( x - y - a = 0 \) должно быть равно радиусу окружности \( R = 1 \).
   Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) равна: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
   В нашем случае \( x_0 = 0, y_0 = 0, A = 1, B = -1, C = -a \).
   \[ 1 = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]
   \[ 1 = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} \]
   \[ \sqrt{2} = |a| \]
   Следовательно, \( a = \sqrt{2} \) или \( a = -\sqrt{2} \).
2. Алгебраический способ:
   Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = x - a \).
   Подставим это в первое уравнение:
   \[ x^2 + (x - a)^2 = 1 \]
   \[ x^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 1 \]
   \[ 2x^2 - 2ax + (a^2 - 1) = 0 \]

   Для того чтобы система имела единственное решение, квадратное уравнение относительно \( x \) должно иметь единственный корень. Это означает, что дискриминант \( D \) должен быть равен нулю.

   Дискриминант квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) равен \( D = B^2 - 4AC \).

   В нашем случае \( A = 2, B = -2a, C = a^2 - 1 \).

   \[ D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 0 \]
   \[ 4a^2 - 8(a^2 - 1) = 0 \]
   \[ 4a^2 - 8a^2 + 8 = 0 \]
   \[ -4a^2 + 8 = 0 \]
   \[ 4a^2 = 8 \]
   \[ a^2 = 2 \]
   Следовательно, \( a = \sqrt{2} \) или \( a = -\sqrt{2} \).

Ответ: Система имеет единственное решение при \( a = \sqrt{2} \) и \( a = -\sqrt{2} \).