При каких значениях а система уравнений {x² + y² = 1, x - y = a} имеет единственное решение?

Решение:

Система уравнений имеет единственное решение, когда прямая \( x - y = a \) касается окружности \( x^2 + y^2 = 1 \).

Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = y + a \).

Подставим это в первое уравнение:

\[ (y + a)^2 + y^2 = 1 \]\[ y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 1 \]\[ 2y^2 + 2ay + a^2 - 1 = 0 \]

Для того чтобы система имела единственное решение, квадратное уравнение относительно \( y \) должно иметь один корень. Это значит, что дискриминант \( D \) должен быть равен нулю.

\[ D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 0 \]\[ 4a^2 - 8a^2 + 8 = 0 \]\[ -4a^2 + 8 = 0 \]\[ 4a^2 = 8 \]\[ a^2 = 2 \]\[ a = \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, система имеет единственное решение при \( a = \sqrt{2} \) или \( a = -\sqrt{2} \). Это соответствует интервалу \( a \in \{ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \} \).

Ответ: \( a \in \{ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \} \).