При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение. α∈ {0; √2} aER a ∈ {−√2; √2} α ∈ {0; 4} α ∈ {0; 2} 2 2 (x² + y² = 1 = 1 (x - y = a

Решение:

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти значения параметра \( a \), при которых система уравнений имеет единственное решение:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x - y = a \end{cases}\]

Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = y + a \). Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(y + a)^2 + y^2 = 1\]

Раскроем скобки и упростим:

\[y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 1 \\ 2y^2 + 2ay + a^2 - 1 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Для того чтобы система имела единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

\[D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 0 \\ 4a^2 - 8(a^2 - 1) = 0 \\ 4a^2 - 8a^2 + 8 = 0 \\ -4a^2 + 8 = 0 \\ 4a^2 = 8 \\ a^2 = 2 \\ a = \pm \sqrt{2}\]

Теперь проверим, что при этих значениях \( a \) действительно получается единственное решение. Если \( a = \sqrt{2} \), то уравнение принимает вид:

\[2y^2 + 2\sqrt{2}y + 2 - 1 = 0 \\ 2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0 \\ (\sqrt{2}y + 1)^2 = 0 \\ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Тогда \( x = y + a = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Аналогично для \( a = -\sqrt{2} \):

\[y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, система имеет единственное решение при \( a = \pm \sqrt{2} \).

Ответ: a ∈ {−√2; √2}

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!