Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
687 При каких значениях $$a$$ уравнение $$\sin^4 x + \cos^4 x = a$$
Ответ:
Ответ: $$\frac{1}{2} \le a \le 1$$
Краткое пояснение: Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества, и найдем диапазон значений для $$a$$.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Преобразуем выражение $$\sin^4 x + \cos^4 x$$, используя основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла.
Показать преобразования
\[\begin{aligned}
\sin^4 x + \cos^4 x &= (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 \\
&= (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \\
&= 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \\
&= 1 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 \\
&= 1 - \frac{1}{2} (\sin 2x)^2 \\
&= 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x
\end{aligned}\]
- Шаг 2: Заменим $$\sin^4 x + \cos^4 x$$ на полученное выражение в исходном уравнении.
- Шаг 3: Выразим $$\sin^2 2x$$ через $$a$$.
- Шаг 4: Определим диапазон значений для $$\sin^2 2x$$.
- Шаг 5: Решим неравенство относительно $$a$$.
Показать решение неравенства
Разделим все части неравенства на 2:
\[0 \le 1 - a \le \frac{1}{2}\]
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
\[-1 \le -a \le -\frac{1}{2}\]
Умножим все части неравенства на -1 (и поменяем знаки):
\[1 \ge a \ge \frac{1}{2}\]
Или
\[\frac{1}{2} \le a \le 1\]
Ответ: $$\frac{1}{2} \le a \le 1$$
Цифровой атлет: Ты нашел верный диапазон!
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей
