При каких значениях b уравнение f(x) = b имеет: а) один корень; б) два корня; в) три корня; г) не имеет корней?

Анализ задачи:

Необходимо определить, для каких значений параметра b данная кусочно-заданная функция f(x) будет пересекать горизонтальную линию y = b в определенном количестве точек (1, 2, 3 или 0).

Решение:

Сначала проанализируем каждую часть функции:

• Первая часть: \( f(x) = \frac{x+3}{2} \) при \( x < -1 \). Это линейная функция, график — прямая. Найдем значение функции на границе интервала: \( f(-1) = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Так как \( x < -1 \), то точка \( (-1, 1) \) не включается в график. При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). График — луч, идущий вниз влево от точки \( (-1, 1) \) (не включая ее).

• Вторая часть: \( f(x) = x^2 \) при \( -1 \le x \le 2 \). Это квадратичная функция, график — парабола. Найдем значения на границах интервала: \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) и \( f(2) = 2^2 = 4 \). Точки \( (-1, 1) \) и \( (2, 4) \) включаются в график. Вершина параболы \( y=x^2 \) находится в \( (0, 0) \), что попадает в данный интервал.

Теперь рассмотрим, сколько раз горизонтальная линия \( y = b \) пересечет график функции:

1. а) Один корень:
   - Если \( b < 0 \), линия \( y = b \) пересечет только первую часть графика (луч, идущий вниз).
2. б) Два корня:
   - Если \( b = 0 \), линия \( y = 0 \) пересечет первую часть графика (так как \( f(x) \to -\infty \) при \( x \to -\infty \)) и вторую часть графика (вершина параболы в \( (0, 0) \)).
3. в) Три корня:
   - Если \( 0 < b < 1 \), линия \( y = b \) пересечет первую часть графика и дважды вторую часть графика (один раз до вершины, один раз после).
4. г) Нет корней:
   - Если \( b > 4 \), линия \( y = b \) не пересечет график вовсе, так как максимальное значение функции на интервале \( [-1, 2] \) равно 4, а первая часть уходит в минус бесконечность.

Важно: На границе \( x = -1 \), \( f(-1) = 1 \). Точка \( (-1, 1) \) включена во вторую часть функции, но не в первую. На границе \( x = 2 \), \( f(2) = 4 \), эта точка включена во вторую часть.

Переосмыслим количество корней, учитывая включение/исключение точек:

• Один корень:
  - \( b < 0 \) (пересекает только первую ветку).
• Два корня:
  - \( b = 0 \) (пересекает первую ветку и вершину параболы).
  - \( b = 1 \) (пересекает первую ветку (точка \( (-1, 1) \) не включена), и параболу в точке \( (-1, 1) \) и еще в одной точке \( x = -1 \), так как \( f(-1) = 1 \) для \( x^2 \)).
  - \( 1 < b < 4 \) (пересекает первую ветку и дважды параболу).
• Три корня:
  - Нет такого значения b, при котором функция пересекает график три раза, так как первая часть — луч, вторая — часть параболы.
• Нет корней:
  - \( b > 4 \) (линия выше максимального значения 4).
  
• Особые случаи:
  - При \( b = 4 \) — один корень (точка \( (2, 4) \)).

Пересматриваем условия, чтобы избежать путаницы:

1. а) Один корень:
   - \( b < 0 \) (первая часть графика).
   - \( b = 4 \) (точка \( (2, 4) \) на параболе).
2. б) Два корня:
   - \( b = 0 \) (первая часть и вершина параболы).
   - \( 0 < b < 1 \) (первая часть и две точки на параболе).
   - \( 1 < b < 4 \) (первая часть и две точки на параболе).
3. в) Три корня:
   - Нет таких значений b.
4. г) Не имеет корней:
   - \( b > 4 \).

Финальная проверка:

График состоит из:

• Луча: \( y = \frac{x+3}{2} \) для \( x < -1 \), где \( y < 1 \). Начинается от \( (-\infty, -\infty) \) и идет до точки \( (-1, 1) \) (не включая её).
• Части параболы \( y = x^2 \) для \( -1 \le x \le 2 \), где \( 0 \le y \le 4 \). Включает точки \( (-1, 1) \), \( (0, 0) \), \( (2, 4) \).

Итак, по количеству пересечений с горизонтальной линией \( y = b \):

а) Один корень:

• \( b < 0 \) (линия ниже оси X, пересекает только первую ветвь).
• \( b = 4 \) (линия проходит через точку \( (2, 4) \) параболы, а первая ветвь не достигает этого значения).

б) Два корня:

• \( b = 0 \) (линия на оси X: пересекает первую ветвь и вершину параболы).
• \( 0 < b < 1 \) (линия между 0 и 1: пересекает первую ветвь и дважды параболу).
• \( 1 < b < 4 \) (линия между 1 и 4: пересекает первую ветвь и дважды параболу).
• \( b = 1 \) (линия проходит через \( y=1 \). Первая ветвь не включает \( y=1 \), но вторая ветвь включает \( y=1 \) в точках \( x=-1 \) и \( x=1 \). Таким образом, 2 корня.)

в) Три корня:

• Нет такого значения b.

г) Не имеет корней:

• \( b > 4 \) (линия выше максимального значения функции).

Ответ:

а) Один корень: \( b < 0 \) или \( b = 4 \).

б) Два корня: \( b = 0 \) или \( 0 < b ≤ 1 \) или \( 1 < b < 4 \) (что упрощается до \( 0 ≤ b < 4 \) и \( b=1 \), т.е. \( 0 \le b < 4 \)).

в) Три корня: Нет таких значений.

г) Не имеет корней: \( b > 4 \).