При каких значениях х имеет смысл выражение \(\sqrt{\frac{x-5}{x^2-10x+24}}\) ?

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Чтобы выражение \(\sqrt{\frac{x-5}{x^2-10x+24}}\) имело смысл, необходимо выполнение двух условий: 1. Под корнем должно быть неотрицательное число: \(\frac{x-5}{x^2-10x+24} \ge 0\). 2. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^2 - 10x + 24
e 0\). Давай решим эти условия по порядку. ### 1. Решение неравенства \(\frac{x-5}{x^2-10x+24} \ge 0\) Сначала разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение: \[x^2 - 10x + 24 = 0\] Дискриминант \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\). Корни \(x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\) и \(x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4\). Таким образом, \(x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)\). Неравенство принимает вид: \[\frac{x-5}{(x-4)(x-6)} \ge 0\] Теперь найдем значения, при которых числитель или знаменатель равны нулю: * \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) * \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\) * \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\) Отметим эти значения на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

(-∞)---(4)---(5)---(6)---(+∞)
   -  |  +  |  -  |  +  |

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Таким образом, получаем: \[x \in (4, 5] \cup (6, +\infty)\] ### 2. Условие \(x^2 - 10x + 24
e 0\) Мы уже нашли корни уравнения \(x^2 - 10x + 24 = 0\): это \(x = 4\) и \(x = 6\). Значит, чтобы выполнялось условие \(x^2 - 10x + 24
e 0\), необходимо, чтобы \(x
e 4\) и \(x
e 6\). ### 3. Объединение решений Объединяем полученные решения и исключаем точки, где знаменатель равен нулю. Получаем: \[x \in (4, 5] \cup (6, +\infty)\] Нужно исключить \(x = 4\) и \(x = 6\), поэтому окончательный ответ: \[x \in (4, 5] \cup (6, +\infty)\]

Ответ: \(x \in (4, 5] \cup (6, +\infty)\)

Не переживай, такие задачи требуют практики. Продолжай решать, и у тебя обязательно получится! Удачи!