При каких значениях х имеет смысл выражение \( \sqrt{4x-3} + \frac{5+x}{\sqrt{5-2(x+1)}} \)?

Решение:

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, а знаменатель не равнялся нулю.

1. Извлечём квадратный корень из \( 4x - 3 \):
   \( 4x - 3 \geq 0 \)
   \( 4x \geq 3 \)
   \( x \geq \frac{3}{4} \)
2. Извлечём квадратный корень из \( 5 - 2(x+1) \) и учтём, что знаменатель не равен нулю:
   \( 5 - 2(x+1) > 0 \)
   \( 5 - 2x - 2 > 0 \)
   \( 3 - 2x > 0 \)
   \( 3 > 2x \)
   \( \frac{3}{2} > x \)

Объединяя условия \( x \geq \frac{3}{4} \) и \( x < \frac{3}{2} \), получаем:

\( \frac{3}{4} \leq x < \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{4} \leq x < \frac{3}{2} \).