При каких значениях параметра а > 0 криволинейный интеграл первого рода по дуге циклоиды x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), 0 ≤ t ≤ 2π равен π/4?

Вычислим длину дуги циклоиды. Найдем производные dx/dt и dy/dt: dx/dt = a(1 - cos t), dy/dt = a sin t. Элемент длины дуги ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt = sqrt(a^2(1 - cos t)^2 + a^2 sin^2 t) dt = a * sqrt(1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t) dt = a * sqrt(2 - 2cos t) dt = a * sqrt(4 sin^2(t/2)) dt = 2a |sin(t/2)| dt. Так как 0 ≤ t ≤ 2π, то sin(t/2) ≥ 0, поэтому ds = 2a sin(t/2) dt. Интеграл ∫_L ds = ∫_0^(2π) 2a sin(t/2) dt = [-4a cos(t/2)]_0^(2π) = -4a cos(π) - (-4a cos(0)) = -4a(-1) + 4a(1) = 8a. По условию, интеграл равен π/4, то есть 8a = π/4. Отсюда, a = π/32.