При каких значениях параметра а система неравенств { 12 - x² ≥ a |x| ≥ a } не имеет решения

Решение:

Система не имеет решений, когда условия обоих неравенств не могут выполняться одновременно.

Рассмотрим неравенство \( |x| \ge a \).

• Если \( a \le 0 \), то \( |x| \ge a \) верно для всех \( x \), так как \( |x| \) всегда неотрицательно.
• Если \( a > 0 \), то \( |x| \ge a \) означает \( x \le -a \) или \( x \ge a \).

Рассмотрим неравенство \( 12 - x^2 \ge a \), что эквивалентно \( x^2 \le 12 - a \).

• Если \( 12 - a < 0 \) (т.е. \( a > 12 \)), то \( x^2 \le 12 - a \) не имеет решений, так как \( x^2 \) всегда неотрицательно.
• Если \( 12 - a \ge 0 \) (т.е. \( a \le 12 \)), то \( -\sqrt{12-a} \le x \le \sqrt{12-a} \).

Система не имеет решений, если интервалы решений двух неравенств не пересекаются.

Случай 1: a > 0

Условие \( |x| \ge a \) дает \( x \in (-\infty; -a] \cup [a; \infty) \).

Условие \( x^2 \le 12 - a \) дает \( x \in [-\sqrt{12-a}; \sqrt{12-a}] \).

Для отсутствия решений нужно, чтобы эти множества были пустыми или не пересекались. Если \( a > 12 \), то второе неравенство не имеет решений, значит, система не имеет решений.

Если \( 0 < a \le 12 \), то для отсутствия решений необходимо, чтобы интервал \( [-\sqrt{12-a}; \sqrt{12-a}] \) полностью находился между \( -a \) и \( a \), то есть \( -a > \sqrt{12-a} \) и \( a < -\sqrt{12-a} \). Оба эти условия невозможны, так как \( a > 0 \) и \( \sqrt{12-a} \ge 0 \).

Другой случай отсутствия пересечения: когда \( \sqrt{12-a} < a \) и \( -\sqrt{12-a} > -a \). Это эквивалентно \( \sqrt{12-a} < a \), что после возведения в квадрат (при \( a > 0 \)) дает \( 12 - a < a^2 \), или \( a^2 + a - 12 > 0 \). Корни \( a^2 + a - 12 = 0 \) это \( a = -4 \) и \( a = 3 \). Значит, \( a < -4 \) или \( a > 3 \). Учитывая \( a > 0 \), получаем \( a > 3 \). Также нужно условие \( 12-a > 0 > 0 \), то есть \( a < 12 \).

Итак, при \( 3 < a < 12 \), интервал \( [-\sqrt{12-a}; \sqrt{12-a}] \) лежит между \( -a \) и \( a \), и не пересекается с \( (-\infty; -a] \cup [a; \infty) \). Следовательно, система не имеет решений при \( 3 < a < 12 \).

Случай 2: a ≤ 0

Неравенство \( |x| \ge a \) верно для всех \( x \).

Неравенство \( x^2 \le 12 - a \) имеет решения, если \( 12 - a \ge 0 \), то есть \( a \le 12 \).

В этом случае решения есть.

Объединяя случаи: Система не имеет решений при \( a > 3 \).

Ответ: a > 3