При каких значениях параметра а система уравнений { y = 2|x - a| + 3a + 7, {(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 5 имеет ровно одно решение? В ответ запишите наименьшее значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Решение:

Данная система уравнений состоит из уравнения прямой с модулем и уравнения окружности. Система имеет ровно одно решение, когда прямая касается окружности или проходит через единственную точку, удовлетворяющую условию.

Рассмотрим уравнение прямой: \( y = 2|x - a| + 3a + 7 \). Это V-образная функция с вершиной в точке \( (a, 3a + 7) \).

Уравнение окружности: \( (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 5 \). Центр окружности \( C = (-4, 5) \), радиус \( R = \sqrt{5} \).

Для того чтобы система имела ровно одно решение, вершина параболы должна находиться на окружности, или касательная к окружности должна быть параллельна одному из лучей V-образной функции.

Случай 1: Вершина параболы лежит на окружности.

Подставим координаты вершины \( (a, 3a + 7) \) в уравнение окружности:

\[ (a + 4)^2 + (3a + 7 - 5)^2 = 5 \]

\[ (a + 4)^2 + (3a + 2)^2 = 5 \]

\[ a^2 + 8a + 16 + 9a^2 + 12a + 4 = 5 \]

\[ 10a^2 + 20a + 20 = 5 \]

\[ 10a^2 + 20a + 15 = 0 \]

Разделим на 5:

\[ 2a^2 + 4a + 3 = 0 \]

Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 \). Так как \( D < 0 \), действительных решений для \( a \) нет. Вершина параболы не лежит на окружности.

Случай 2: Касание окружности.

Касание возможно, когда расстояние от центра окружности \( (-4, 5) \) до одного из лучей прямой равно радиусу \( \sqrt{5} \).

Уравнение прямой можно записать как \( 2|x - a| - y + 3a + 7 = 0 \).

Рассмотрим два случая для модуля:

Случай 2.1: \( x \ge a \)

Уравнение: \( 2(x - a) - y + 3a + 7 = 0 \) \( \Rightarrow 2x - 2a - y + 3a + 7 = 0 \) \( \Rightarrow 2x - y + a + 7 = 0 \).

Расстояние от \( (-4, 5) \) до прямой \( 2x - y + a + 7 = 0 \):

\[ \frac{|2(-4) - 5 + a + 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5} \]

\[ \frac{|-8 - 5 + a + 7|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \]

\[ |a - 6| = 5 \]

Отсюда \( a - 6 = 5 \) или \( a - 6 = -5 \).

\( a = 11 \) или \( a = 1 \).

Случай 2.2: \( x < a \)

Уравнение: \( 2(-(x - a)) - y + 3a + 7 = 0 \) \( \Rightarrow -2x + 2a - y + 3a + 7 = 0 \) \( \Rightarrow -2x - y + 5a + 7 = 0 \) \( \Rightarrow 2x + y - 5a - 7 = 0 \).

Расстояние от \( (-4, 5) \) до прямой \( 2x + y - 5a - 7 = 0 \):

\[ \frac{|2(-4) + 5 - 5a - 7|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \sqrt{5} \]

\[ \frac{|-8 + 5 - 5a - 7|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \]

\[ |-5a - 10| = 5 \]

\[ |5a + 10| = 5 \]

Отсюда \( 5a + 10 = 5 \) или \( 5a + 10 = -5 \).

\( 5a = -5 \) \( \Rightarrow a = -1 \).

\( 5a = -15 \) \( \Rightarrow a = -3 \).

Мы получили четыре значения параметра \( a \): 11, 1, -1, -3. Нам нужно наименьшее значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Наименьшее значение параметра \( a \) равно -3.

Ответ: -3.