При каких значениях параметра a существует единственная пара (x,y), удовлетворяющая уравнению ax²+(3a+2)y²+4axy−2ax+(4−6a)y+2=0?

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной \(x\):

\[a x^2+(4ay-2a)x+(3a+2)y^2+(4-6a)y+2=0.\]

При \(a=0\) уравнение принимает вид \(2y^2+4y+2=0\), то есть \((y+1)^2=0\). Переменная \(x\) произвольна, поэтому единственной пары нет.

Преобразуем левую часть при \(a\ne0\):

\[a(x+2y-1)^2+2(y-1)^2=0.\]

Если \(a>0\), оба слагаемых неотрицательны, поэтому сумма равна нулю только при одновременном выполнении условий

\[x+2y-1=0,\qquad y-1=0.\]

Отсюда \(y=1\), \(x=-1\), то есть существует единственная пара \((-1,1)\).

Если \(a<0\), уравнение задаёт гиперболу и имеет бесконечно много решений.

Ответ: \(a>0\).