При каких значениях параметра a существует единственная точка, удовлетворяющая уравнению ax² + (3a + 2)y² + 4axy − 2ax + (4 − 6a)y + 2 = 0?

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной \(x\):

\[a x^2+ (4ay-2a)x +(3a+2)y^2 +(4-6a)y+2=0.\]

Чтобы множество решений состояло ровно из одной точки, квадратичная часть должна быть полуопределённой, а после приведения уравнения к каноническому виду полученная единственная точка должна существовать.

Матрица квадратичной части имеет вид \(\begin{pmatrix}a&2a\\2a&3a+2\end{pmatrix}\). Её определитель:

\[a(3a+2)-4a^2=-a(a+2).\]

Для вырожденной квадратичной формы необходимо \(-a(a+2)=0\), поэтому \(a=0\) или \(a=-2\).

При \(a=0\) исходное уравнение принимает вид \(2y^2+4y+2=0\), то есть

\[2(y+1)^2=0.\]

Единственная точка: \((x,y)=(-\text{произвольное},-1)\), то есть решений бесконечно много, а не одна точка.

При \(a=-2\) получаем:

\[-2x^2+(-4)y^2-8xy+4x+16y+2=0.\]

После умножения на \(-1\):

\[2x^2+4xy+4y^2-4x-16y-2=0.\]

Квадратичная часть равна \(2(x+y)^2+2y^2\), она положительно определена, поэтому это уравнение задаёт не единственную точку, а кривую либо пустое множество. Следовательно, значение \(a=-2\) также не подходит.

Ответ: таких значений параметра \(a\) не существует.