При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2|x+a|-1|=x-1\) имеет единственный корень?

Правая часть неотрицательна, поэтому любой корень должен удовлетворять \(x\ge 1\). Раскрываем внешние модули по двум случаям:

1. \(2|x+a|-1=x-1\), откуда \(|x+a|=x/2\). Получаются корни \(x=-2a\) при \(a\le - frac12\) и \(x=- \frac{2a}{3}\) при \(a\le - frac32\).
2. \(2|x+a|-1=-(x-1)\), откуда \(|x+a|=1-x/2\). Здесь также необходимо \(1\le x\le2\). Получаются корни \(x= \frac{2(1-a)}3\) при \(-2\le a\le- frac12\) и \(x=-2(a+1)\) при \(-2\le a\le- frac32\).

Подсчитывая различные корни с учётом совпадений на границах промежутков, получаем ровно один корень только при \(a=- frac12\). В этом случае корень \(x=1\).

Ответ: \(a=- frac12\).