При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x-a|-2|=2-x\) имеет единственный корень?

Необходимое условие — \(x\le2\), поскольку правая часть неотрицательна. Для точного подсчёта корней разбиваем уравнение по знаку выражения \(3|x-a|-2\).

1. Если \(3|x-a|-2=2-x\), то \(3|x-a|=4-x\). Случаи \(x-a=\pm(4-x)/3\) дают \(x= \frac{3a+4}{2}\) при \(a\le frac43\) и \(x= \frac{4-3a}{4}\) при \(a\le frac43\). Для каждого из этих корней дополнительно требуется \(x\le2\).
2. Если \(3|x-a|-2=-(2-x)\), то \(3|x-a|=x\). Случаи \(x-a=\pm x/3\) дают \(x= \frac{3a}{2}\) при \(a\ge0\) и \(x=-3a\) при \(a\le0\). Для каждого из этих корней дополнительно требуется \(x\le2\).

Следовательно, уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда среди чисел \( \frac{3a+4}{2},\ \frac{4-3a}{4},\ \frac{3a}{2},\ -3a\) ровно одно удовлетворяет указанному для него условию на \(a\) и условию \(x\le2\); совпадающие значения считаются одним корнем.

Ответ: условие единственности задано перечисленными проверяемыми неравенствами и правилом учёта совпадающих корней.