При каких значениях параметра а уравнение cos²x-2cosx+a=0 имеет решение.

Решение:

Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид \( t^2 - 2t + a = 0 \).

Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( -1 \le t \le 1 \).

Уравнение \( t^2 - 2t + a = 0 \) должно иметь хотя бы один корень \( t \) на отрезке \( [-1, 1] \).

Найдем дискриминант квадратного уравнения: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a \).

Для наличия действительных корней необходимо \( D \ge 0 \), то есть \( 4 - 4a \ge 0 \), что дает \( 4a \le 4 \), или \( a \le 1 \).

Корни уравнения: \( t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - a} \).

Нам нужно, чтобы хотя бы один из корней \( t_1 = 1 - \sqrt{1 - a} \) или \( t_2 = 1 + \sqrt{1 - a} \) принадлежал отрезку \( [-1, 1] \).

Рассмотрим корень \( t_2 = 1 + \sqrt{1 - a} \):

Так как \( \sqrt{1 - a} \ge 0 \), то \( t_2 \ge 1 \). Для того, чтобы \( t_2 \in [-1, 1] \), необходимо \( t_2 = 1 \).

\( 1 + \sqrt{1 - a} = 1 \) => \( \sqrt{1 - a} = 0 \) => \( 1 - a = 0 \) => \( a = 1 \).

При \( a = 1 \), \( t_2 = 1 \), что входит в отрезок \( [-1, 1] \).

Рассмотрим корень \( t_1 = 1 - \sqrt{1 - a} \):

Нам нужно, чтобы \( -1 \le 1 - \sqrt{1 - a} \le 1 \).

Правая часть неравенства \( 1 - \sqrt{1 - a} \le 1 \) всегда верна, так как \( \sqrt{1 - a} \ge 0 \).

Левая часть неравенства: \( -1 \le 1 - \sqrt{1 - a} \).

\( \sqrt{1 - a} \le 1 + 1 \) => \( \sqrt{1 - a} \le 2 \).

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что \( 1 - a \ge 0 \)): \( 1 - a \le 4 \).

\( -a \le 3 \) => \( a \ge -3 \).

Итак, для того чтобы корень \( t_1 \) принадлежал отрезку \( [-1, 1] \), необходимо \( a \ge -3 \) и \( a \le 1 \).

Объединяя все условия:

Для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы \( a \le 1 \) (для существования корней) и чтобы хотя бы один корень попал в отрезок \( [-1, 1] \).

Мы выяснили, что:

• Если \( a = 1 \), то \( t_2 = 1 \) (принадлежит \( [-1, 1] \)).
• Если \( -3 \le a < 1 \), то \( t_1 = 1 - \sqrt{1 - a} \) принадлежит \( [-1, 1] \).

Таким образом, уравнение имеет решение при \( a \in [-3, 1] \).

Ответ: [-3; 1]