При каких значениях параметра а уравнение \(\sqrt{x} + 2a \cdot (3 - ax - x) = 0\) имеет единственное решение? Выберите один ответ

Решение:

Уравнение имеет вид \(\sqrt{x} + 2a(3 - ax - x) = 0\). ОДЗ: \( x \geq 0 \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( a = 0 \)

Уравнение принимает вид \(\sqrt{x} + 0 = 0 \), откуда \(\sqrt{x} = 0 \), что даёт \( x = 0 \). Это единственное решение.

Случай 2: \( a \neq 0 \)

Перепишем уравнение как \(\sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \).

Чтобы имелось единственное решение, возможны два сценария:

1. \(\sqrt{x}=0\) (т.е. \( x=0 \)) является единственным решением.
2. Существует \( x > 0 \), которое является единственным решением.

Подставим \( x = 0 \) в исходное уравнение:

\(\sqrt{0} + 2a(3 - a \cdot 0 - 0) = 0 \)

\( 0 + 2a(3) = 0 \)

\( 6a = 0 \)

\( a = 0 \).

Этот случай мы уже рассмотрели, и он даёт единственное решение \( x = 0 \).

Теперь рассмотрим случай \( x > 0 \).

Возведем обе части уравнения \(\sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \) в квадрат:

\( x = 4a^2 (3 - ax - x)^2 \)

Это очень сложное уравнение для анализа.

Давайте попробуем другой подход. Выделим \( \sqrt{x} \) и перенесём остальное:

\( \sqrt{x} = -6a + 2a^2x + 2ax \)

\( \sqrt{x} = 2a^2x + (2a - 6a)x \)

\( \sqrt{x} = 2a^2x - 4ax \)

\( \sqrt{x} = 2ax(ax - 2) \)

Если \( x > 0 \), можем разделить на \( \sqrt{x} \):

\( 1 = 2a \sqrt{x}(ax - 2) \)

Это также не упрощает задачу.

Вернёмся к \( \sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \).

Возможны два случая, когда \( x=0 \) является единственным решением:

• \( a=0 \), что мы уже проверили.
• \( a \neq 0 \), и \( x=0 \) удовлетворяет уравнению, а других положительных решений нет.

Рассмотрим случай, когда \( x>0 \) и \( \sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \).

Для существования \( x > 0 \) необходимо, чтобы правая часть имела тот же знак, что и \( \sqrt{x} \), то есть \( -2a(3 - ax - x) \geq 0 \).

Если \( a > 0 \), то \( 3 - ax - x \leq 0 \). \( 3 \leq x(a+1) \). \( x \geq \frac{3}{a+1} \).

Если \( a < 0 \), то \( 3 - ax - x \geq 0 \). \( 3 \geq x(a+1) \).

Если \( a = -1 \), то \( 3 \geq 0 \), что верно для всех \( x \geq 0 \).

Подставим \( a = -1 \) в исходное уравнение:

\(\sqrt{x} + 2(-1)(3 - (-1)x - x) = 0 \)

\(\sqrt{x} - 2(3 + x - x) = 0 \)

\(\sqrt{x} - 2(3) = 0 \)

\(\sqrt{x} - 6 = 0 \)

\(\sqrt{x} = 6 \)

\( x = 36 \). Это единственное решение.

Следовательно, \( a = -1 \) является одним из ответов.

Рассмотрим случай, когда \( a > 0 \) и \( x \geq \frac{3}{a+1} \).

Рассмотрим случай, когда \( a < 0 \) и \( x \leq \frac{3}{a+1} \).

Проверим варианты ответа:

\( a \in (0; +\infty) \): Если \( a > 0 \), то \( x=0 \) не является решением, так как \( 6a \neq 0 \).

\( a \in (-1; 0) \): Если \( -1 < a < 0 \), то \( a+1 > 0 \). \( x \leq \frac{3}{a+1} \). И \( -2a > 0 \), поэтому \( \sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \geq 0 \).

\( a \in (-\infty; 1) \): этот интервал включает \( a=-1 \).

\( a = -1 \): Мы уже проверили, что при \( a=-1 \) есть единственное решение \( x = 36 \).

Попробуем подставить \( x = 4a^2 \) в \(\sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \) (это может быть одно из решений, если \( ax-2=0 \) то \( x = 2/a \), \( \sqrt{2/a} = -2a(3 - a(2/a) - 2/a) \)).

Рассмотрим случай \( 3 - ax - x = 0 \), то есть \( x(a+1) = 3 \). Если \( a \neq -1 \), то \( x = \frac{3}{a+1} \). Подставим это в исходное уравнение:

\(\sqrt{\frac{3}{a+1}} + 2a(0) = 0 \)

\(\sqrt{\frac{3}{a+1}} = 0 \)

Это невозможно, так как \( 3 \neq 0 \).

Значит, \( 3 - ax - x \neq 0 \) для решения.

Если \( x = 4a^2 \), то \( \sqrt{4a^2} = -2a(3 - a(4a^2) - 4a^2) \). \( |2a| = -2a(3 - 4a^3 - 4a^2) \).

Если \( a > 0 \), то \( 2a = -2a(3 - 4a^3 - 4a^2) \). \( 1 = -(3 - 4a^3 - 4a^2) \). \( 1 = -3 + 4a^3 + 4a^2 \). \( 4a^3 + 4a^2 - 4 = 0 \). \( a^3 + a^2 - 1 = 0 \). У этого уравнения есть один вещественный корень, но он не является простым.

Если \( a < 0 \), то \( -2a = -2a(3 - 4a^3 - 4a^2) \). \( 1 = 3 - 4a^3 - 4a^2 \). \( 4a^3 + 4a^2 - 2 = 0 \). \( 2a^3 + 2a^2 - 1 = 0 \). У этого уравнения тоже есть вещественные корни.

Рассмотрим случай, когда \( 3 - ax - x = \frac{\sqrt{x}}{-2a} \).

Тогда \( x = -2a(3 - ax - x) \).

Мы установили, что \( a=-1 \) даёт единственное решение \( x=36 \).

Теперь проанализируем интервал \( a \in (-1; 0) \).

В этом случае \( a+1 > 0 \), \( -2a > 0 \).

\( \sqrt{x} = -2a(3 - x(a+1)) \).

\( \sqrt{x} = -6a + 2a^2x + 2ax \).

\( x - 2a^2x - 2ax + \sqrt{x} + 6a = 0 \).

\( x(1 - 2a^2 - 2a) + \sqrt{x} + 6a = 0 \).

Если \( 1 - 2a^2 - 2a = 0 \), то \( 2a^2 + 2a - 1 = 0 \). \( a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \). Оба корня меньше -1 или между 0 и 1.

Следовательно, \( 1 - 2a^2 - 2a \neq 0 \) для \( a \in (-1; 0) \).

Для единственного решения \( x \geq 0 \) необходимо, чтобы при возведении в квадрат не появилось лишних корней. Это происходит, когда \( -2a(3 - ax - x) \geq 0 \).

Если \( a \in (-1, 0) \), то \( -2a > 0 \). Значит \( 3 - ax - x \geq 0 \), \( 3 \geq x(a+1) \). Так как \( a+1 > 0 \), \( x \leq \frac{3}{a+1} \).

Нам нужно, чтобы \( \sqrt{x} = -2a(3 - ax - x) \) имело ровно одно решение \( x ∈ [0, \frac{3}{a+1}] \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x} + 2a(3 - ax - x) \). Нам нужно, чтобы \( f(x) = 0 \) имела ровно одно решение при \( x \geq 0 \).

Мы знаем, что \( a=-1 \) даёт единственное решение.

Рассмотрим \( a \in (-1, 0) \).

\( f(0) = 6a < 0 \).

\( f(\frac{3}{a+1}) = \sqrt{\frac{3}{a+1}} + 2a(0) = \sqrt{\frac{3}{a+1}} > 0 \) (так как \( a+1 > 0 \)).

По теореме о промежуточном значении, на интервале \( [0, \frac{3}{a+1}] \) существует корень.

Чтобы корень был единственным, нужно, чтобы функция \( f(x) \) была монотонной на этом интервале, или чтобы максимум/минимум был вне этого интервала, или чтобы корень был касанием.

Производная \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2a(-a-1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2a(a+1) \).

Для \( a \in (-1, 0) \), \( a+1 > 0 \) и \( -2a > 0 \).

\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2a(-a-1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2a(a+1) \).

Если \( f'(x) = 0 \), то \( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2a(a+1) \).

\( \sqrt{x} = \frac{1}{4a(a+1)} \). Так как \( a \in (-1, 0) \), \( a(a+1) < 0 \), значит \( 4a(a+1) < 0 \). \( \frac{1}{4a(a+1)} < 0 \). \( \sqrt{x} \) не может быть отрицательным. Значит, \( f'(x) \) не равна нулю для \( x > 0 \).

\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2a(a+1) \). Для \( a \in (-1, 0) \), \( a+1 > 0 \), \( -2a > 0 \). \( 2a(a+1) \) может быть положительным или отрицательным.

Если \( a ∈ (-1, -1/2] \), то \( a+1 \in (0, 1/2] \) и \( a \in (-1, -1/2] \). \( a(a+1) \) отрицательно.

Если \( a ∈ (-1/2, 0) \), то \( a+1 \in (1/2, 1) \) и \( a \in (-1/2, 0) \). \( a(a+1) \) отрицательно.

Значит \( 2a(a+1) < 0 \). Тогда \( -2a(a+1) > 0 \). \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + (- \text{положительное число}) \). \( f'(x) > 0 \) для \( x>0 \).

Значит, \( f(x) \) возрастает на \( (0, \frac{3}{a+1}] \). Так как \( f(0) < 0 \) и \( f(\frac{3}{a+1}) > 0 \), существует ровно одно решение.

Значит, \( a \in (-1, 0) \) даёт единственное решение.

Рассмотрим \( a \in (-\infty, -1) \). Тогда \( a+1 < 0 \). \( -2a > 0 \).

\( \sqrt{x} = -2a(3 - x(a+1)) \). \( x \geq 0 \). \( 3 - x(a+1) \geq 0 \). \( 3 \geq x(a+1) \). Так как \( a+1 < 0 \), то \( x \leq \frac{3}{a+1} \).

Это означает, что \( x \geq 0 \) и \( x \leq \frac{3}{a+1} \). Так как \( \frac{3}{a+1} < 0 \), то нет таких \( x \geq 0 \). Значит, для \( a < -1 \) нет решений.

Проверим \( a = 0 \). Единственное решение \( x=0 \).

Итого, \( a = 0 \) и \( a \in [-1, 0) \) дают единственное решение.

В вариантах ответа есть \( a \in (-1; 0) \) и \( a=-1 \).

Если \( a=-1 \), то \( x=36 \).

Если \( a \in (-1, 0) \), то \( x=0 \) не является решением, так как \( f(0) = 6a < 0 \). Значит \( x=0 \) не является корнем.

Рассмотрим \( f(x) = \sqrt{x} + 2a(3 - ax - x) \).

\( f(0) = 6a \).

Если \( a=0 \), \( f(0)=0 \), \( x=0 \) - единственное решение.

Если \( a ∈ (-1, 0) \), \( f(0) = 6a < 0 \). \( a+1 > 0 \), \( -2a > 0 \).

\( f(x) = \sqrt{x} - 2a(x(a+1)-3) \).

\( f(\frac{3}{a+1}) = \sqrt{\frac{3}{a+1}} > 0 \).

Значит, на \( [0, \frac{3}{a+1}] \) есть корень.

Производная \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2a(a+1) \).

При \( a ∈ (-1, 0) \), \( a+1 > 0 \) и \( -2a > 0 \). \( 2a(a+1) < 0 \). \( -2a(a+1) > 0 \). \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + (\text{положительное число}) > 0 \) для \( x>0 \).

Значит \( f(x) \) возрастает на \( [0, \frac{3}{a+1}] \). Так как \( f(0)<0 \) и \( f(\frac{3}{a+1})>0 \), существует ровно одно решение.

Значит, \( a \in [-1, 0) \) даёт единственное решение. Вариант \( a \in (-1; 0) \) и \( a=-1 \) охватывают этот интервал.

Ответ: a=-1