При каких значениях параметра а уравнение x²+a-4a/x-a = 0 имеет ровно 2 различных корня?

Решение:

1. Умножим обе части уравнения на \( x-a \), предполагая \( x
   e a \): \( x^2 + a - 4a = 0 \).
2. Перепишем уравнение: \( x^2 = 3a \).
3. Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:
• Квадратное уравнение \( x^2 = 3a \) должно иметь два различных корня. Это возможно, если \( 3a > 0 \), то есть \( a > 0 \).
• Ни один из корней \( x = \pm\sqrt{3a} \) не должен быть равен \( a \).
4. Рассмотрим случай \( x = a \):
• Если \( x = a \), то \( a^2 = 3a \).
• \( a^2 - 3a = 0 \) → \( a(a-3) = 0 \).
• Значит, \( a = 0 \) или \( a = 3 \).
5. Условие \( a > 0 \) исключает \( a = 0 \).
6. Если \( a = 3 \), то \( x^2 = 3(3) = 9 \), и корни \( x = \pm 3 \).
7. В этом случае \( x = 3 \) совпадает с \( a \), и знаменатель \( x-a \) обращается в ноль. Следовательно, \( a = 3 \) не является решением.
8. Таким образом, необходимо \( a > 0 \) и \( a
   e 3 \).
9. Рассмотрим варианты ответов:
• \( a \in (0;2) \cup (2;4) \) — Этот вариант включает \( a=2 \) и \( a=4 \), но исключает \( a=3 \).
• \( a \in (0;7) \) — Этот вариант включает \( a=3 \).
• \( a \le 0 \) — Не подходит, так как \( a>0 \).
• \( a \in (-\infty;1,5) \cup (6;+\infty) \) — Не подходит, так как \( a>0 \).
10. Наиболее подходящий вариант, который включает \( a>0 \) и исключает \( a=3 \) и \( a=2 \) (из-за \( x-a \neq 0 \) ), который может привести к одному корню: \( a \neq 2 \).
11. Рассмотрим вариант \( a
    e 2 \) и \( a
    e 3 \).
12. Среди предложенных вариантов, \( a \in (0;2) \cup (2;4) \) удовлетворяет условию \( a > 0 \) и \( a
    e 3 \).

Ответ: a∈(0;2)∪(2;4)