При каких значениях параметра а уравнение √(x+a)=х имеет два корня?

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x + a = x^2 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - x - a = 0 \).
3. Для того чтобы исходное уравнение имело два корня, необходимо выполнение двух условий:
• Дискриминант квадратного уравнения \( D = (-1)^2 - 4(1)(-a) = 1 + 4a \) должен быть положительным, то есть \( 1 + 4a > 0 \) → \( a > -1/4 \).
• Корень \( x \) должен быть неотрицательным, так как \( \sqrt{x+a} \) всегда неотрицателен, а \( x = \sqrt{x+a} \).
4. Найдем корни квадратного уравнения: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4a}}{2} \).
5. Проверим условие \( x \ge 0 \) для каждого корня:
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{1+4a}}{2} \). Так как \( \sqrt{1+4a} \ge 0 \) при \( a > -1/4 \), то \( 1 + \sqrt{1+4a} > 0 \), следовательно, \( x_1 > 0 \). Это условие выполняется.
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{1+4a}}{2} \). Для того чтобы \( x_2 \ge 0 \), необходимо \( 1 - \sqrt{1+4a} \ge 0 \), что означает \( 1 \ge \sqrt{1+4a} \). Возведя обе части в квадрат (учитывая, что \( 1 \ge 0 \) и \( \sqrt{1+4a} \ge 0 \)), получим \( 1 \ge 1+4a \) → \( 0 \ge 4a \) → \( a \le 0 \).
6. Объединяя условия \( a > -1/4 \) и \( a \le 0 \), получаем \( -1/4 < a \le 0 \).
7. Однако, в исходном уравнении \( \sqrt{x+a} = x \), один из корней \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{1+4a}}{2} \) всегда удовлетворяет условию \( x \ge 0 \), и \( x_1
   e x_2 \) при \( a
   e 0 \).
8. Если \( a = 0 \), то \( x^2 - x = 0 \), \( x(x-1) = 0 \). Корни \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Оба корня удовлетворяют условию \( x \ge 0 \), и \( \sqrt{0+0} = 0 \), \( \sqrt{1+0} = 1 \). Уравнение имеет два корня.
9. Если \( a = -1/4 \), то \( x^2 - x + 1/4 = 0 \), \( (x-1/2)^2 = 0 \). \( x = 1/2 \). Один корень.
10. Таким образом, для двух корней необходимо \( a \in (-1/4, 0] \).
11. Рассмотрим варианты ответа:
• \( a \in [2;4] \) — не подходит
• \( a \in (-3;2] \cup [4;6) \) — не подходит
• \( a \in (0;25;0] \) — подходит, так как \( (0.25; 0] \) включает \( -0.25 \) и \( 0 \)
• \( a \in (-1;1) \) — не подходит

Ответ: a∈(0,25;0]