При каких значениях параметра а уравнение 4x²-a² x²+6x+9-a² = 0 имеет ровно два различных корня. В ответ записать количество промежутков значений параметра а, при к уравнение имеет ровно два различных корня.

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\[ \frac{4x^2 - a^2}{x^2 + 6x + 9 - a^2} = 0 \]

Это уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} 4x^2 - a^2 = 0 \\ x^2 + 6x + 9 - a^2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем:

\[ 4x^2 = a^2 \]

\[ x^2 = \frac{a^2}{4} \]

\[ x = \pm \frac{a}{2} \]

Таким образом, у нас есть два потенциальных корня: $$x_1 = \frac{a}{2}$$ и $$x_2 = -\frac{a}{2}$$.

Для того чтобы уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия:

1. Корни должны быть различными:

\[ \frac{a}{2} \neq -\frac{a}{2} \]

\[ a \neq 0 \]

2. Знаменатель не должен быть равен нулю для каждого из корней:

Для $$x = \frac{a}{2}$$ :

\[ \left( \frac{a}{2} \right)^2 + 6 \left( \frac{a}{2} \right) + 9 - a^2 \neq 0 \]

\[ \frac{a^2}{4} + 3a + 9 - a^2 \neq 0 \]

\[ -\frac{3a^2}{4} + 3a + 9 \neq 0 \]

Умножим на -4/3:

\[ a^2 - 4a - 12 \neq 0 \]

Найдем корни уравнения $$a^2 - 4a - 12 = 0$$:

\[ (a-6)(a+2) \neq 0 \]

\[ a \neq 6 \text{ и } a \neq -2 \]

Для $$x = -\frac{a}{2}$$ :

\[ \left( -\frac{a}{2} \right)^2 + 6 \left( -\frac{a}{2} \right) + 9 - a^2 \neq 0 \]

\[ \frac{a^2}{4} - 3a + 9 - a^2 \neq 0 \]

\[ -\frac{3a^2}{4} - 3a + 9 \neq 0 \]

Умножим на -4/3:

\[ a^2 + 4a - 12 \neq 0 \]

Найдем корни уравнения $$a^2 + 4a - 12 = 0$$:

\[ (a+6)(a-2) \neq 0 \]

\[ a \neq -6 \text{ и } a \neq 2 \]

Объединим все условия:

\( a \neq 0 \)

\[ a \neq 6, a \neq -2 \]

\[ a \neq -6, a \neq 2 \]

Значит, допустимые значения $$a$$ — это все действительные числа, кроме $$0, 6, -2, -6, 2$$.

В ответ нужно записать количество промежутков значений параметра $$a$$, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. В данном случае, мы исключили 5 значений из множества всех действительных чисел. Это создает 5 отдельных промежутков (от $$-\infty$$ до $$-6$$, от $$-6$$ до $$-2$$, от $$-2$$ до $$0$$, от $$0$$ до $$2$$, от $$2$$ до $$6$$, от $$6$$ до $$+\infty$$).

Однако, формулировка вопроса "количество промежутков значений параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня" может трактоваться иначе. Если вопрос подразумевает, что мы должны перечислить *все* такие промежутки, то это будет 6 промежутков:

\((-\infty; -6), (-6; -2), (-2; 0), (0; 2), (2; 6), (6; \infty)\)

Их количество — 6.

Если же вопрос спрашивает о количестве *отдельных значений* параметра, удовлетворяющих условию, то ответ будет иным.

Учитывая формулировку "количество промежутков", скорее всего, подразумевается подсчет интервалов на числовой оси.

Ответ: 6