8. При каких значениях параметра а уравнение (a + 6)x² + 2ax+1=0 имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение (a + 6)x² + 2ax+1=0. Уравнение имеет единственное решение, если:

1. Уравнение является линейным, то есть коэффициент при x² равен 0:
   • $$a + 6 = 0$$
   • $$a = -6$$
   • В этом случае уравнение примет вид: -12x + 1 = 0; x = 1/12 - единственное решение.
2. Уравнение является квадратным и имеет один корень, то есть дискриминант равен 0:
   • $$D = (2a)^2 - 4 \cdot (a+6) \cdot 1 = 4a^2 - 4a - 24 = 0$$
   • Разделим на 4: $$a^2 - a - 6 = 0$$
   • $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$
   • $$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$$
   • $$a_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$
   • $$a_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$$

Ответ: a = -6; a = 3; a = -2.