При каких значениях параметра а уравнение x² - 2x + a² - 4a = 0 имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \(x\). Чтобы оно имело ровно два различных решения, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения был больше нуля.

Уравнение имеет вид: \( x^2 - 2x + (a^2 - 4a) = 0 \)

Коэффициенты уравнения:

• \( a_{\text{квадратное}} = 1 \)
• \( b = -2 \)
• \( c = a^2 - 4a \)

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4a_{\text{квадратное}}c \)

Подставляем значения коэффициентов:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a) \]\[ D = 4 - 4a^2 + 16a \]

Условие для двух различных решений: \( D > 0 \)

\( 4 - 4a^2 + 16a > 0 \)

Разделим неравенство на 4:

\( 1 - a^2 + 4a > 0 \)

или

\( -a^2 + 4a + 1 > 0 \)

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

\( a^2 - 4a - 1 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( a^2 - 4a - 1 = 0 \) для определения интервалов.

Используем формулу дискриминанта для данного квадратного уравнения по \(a\):

\[ D_a = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 \]\[ \sqrt{D_a} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]\[ a_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]

Корни: \( a_1 = 2 - \sqrt{5} \) и \( a_2 = 2 + \sqrt{5} \).

Так как неравенство \( a^2 - 4a - 1 < 0 \) имеет параболу ветвями вверх, отрицательные значения \(a\) находятся между корнями.

Следовательно, \( 2 - \sqrt{5} < a < 2 + \sqrt{5} \).

Ответ: При \( a \), принадлежащем интервалу \( (2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}) \).