При каких значениях параметра \(c\) функция \(y=3\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) убывает на \([c;\,c+\frac{\pi}{4}]\)? Заполните условие: функция убывает на данном интервале, если \(\frac{\square\pi}{\square}+\square\pi n\le c\le\frac{\square\pi}{\square}+\square\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Найдём производную:

\(y'=\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\).

Функция убывает, когда косинус не положителен, то есть аргумент синуса находится в пределах \(\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]\), где \(n\in\mathbb Z\).

Чтобы это выполнялось на всём отрезке \([c;c+\frac{\pi}{4}]\), достаточно потребовать:

\(\frac{c}{2}-\frac{\pi}{4}\ge\frac{\pi}{2}+2\pi n\), откуда \(c\ge\frac{3\pi}{2}+4\pi n\).

\(\frac{c+\frac{\pi}{4}}{2}-\frac{\pi}{4}\le\frac{3\pi}{2}+2\pi n\), откуда \(c\le\frac{13\pi}{4}+4\pi n\).

Ответ: \(\frac{3\pi}{2}+4\pi n\le c\le\frac{13\pi}{4}+4\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).