При каких значениях параметра m квадратное уравнение x² − mx + m² − 3m − 4 = 0 имеет корни разных знаков?

Для того чтобы квадратное уравнение имело корни разных знаков, необходимо, чтобы произведение корней было отрицательным. По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену квадратного уравнения, то есть m² − 3m − 4. Таким образом, нам нужно найти значения m, при которых m² − 3m − 4 < 0. Решим неравенство m² − 3m − 4 < 0: Найдем корни квадратного трехчлена m² − 3m − 4 = 0. Дискриминант D = (−3)² − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4) = 9 + 16 = 25. m₁ = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4. m₂ = (3 − √25) / 2 = (3 − 5) / 2 = −1. Теперь определим знак квадратного трехчлена на интервалах, образованных корнями: m < −1: Например, m = −2. Тогда (−2)² − 3 ⋅ (−2) − 4 = 4 + 6 − 4 = 6 > 0. −1 < m < 4: Например, m = 0. Тогда 0² − 3 ⋅ 0 − 4 = −4 < 0. m > 4: Например, m = 5. Тогда 5² − 3 ⋅ 5 − 4 = 25 − 15 − 4 = 6 > 0. Таким образом, неравенство m² − 3m − 4 < 0 выполняется при −1 < m < 4. Запишем ответ в виде интервала: (−1; 4).