При каких значениях параметра p неравенство px^2+(2p+1)x-(2-p)<0 верно при всех значениях x?

Ответ:

\[px^{2} + (2p + 1)x - (2 - p) < 0\]

\[1)\ Если\ p = 0,\ то\ не\ все\ значения\ \text{x\ }\]

\[являются\ корнями\ неравенства:\]

\[0x^{2} + (2 \cdot 0 + 1)x - (2 - 0) < 0\]

\[x - 2 < 0\]

\[x < 2.\]

\[2)\ Если\ p > 0,\ то\ ветви\ параболы\ \]

\[направлены\ вверх.\ Следовательно,\ \]

\[не\ все\ значения\ x\ являются\ корнями\]

\[неравенства.\]

\[3)\ Если\ p < 0,\ то\ неравенство\ будет\ \]

\[верно\ при\ всех\ значениях\ x,\ но\ для\ \]

\[этого\ дискриминант\ должен\ быть\ \]

\[отрицательным:\ \]

\[D = (2p + 1)^{2} + 4p(2 - p) =\]

\[= 4p^{2} + 4p + 1 + 8p - 4p^{2} = 12p + 1\]

\[12p + 1 < 0\]

\[12p < - 1\]

\[p < - \frac{1}{12}.\]

\[Ответ:при\ p \in \left( - \infty; - \frac{1}{12} \right).\]