При каких значениях переменной делится сумма и произведение: а) 25 + x делится на 25; б) 1 − 8b делится на 3; в) 144a + 42b делится на 12.

Предполагаем, что переменные принимают целые значения.

1. Чтобы 25 + x делилось на 25, нужно, чтобы и x делилось на 25, поскольку 25 делится на 25. Следовательно, x = 25k, где k — целое число.

2. Число 1 − 8b делится на 3, если оно сравнимо с нулём по модулю 3. Так как −8 сравнимо с 1 по модулю 3, получаем 1 + b ≡ 0 (mod 3). Значит, b ≡ 2 (mod 3), то есть b = 3k + 2, где k — целое число.

3. Число 144a делится на 12, поэтому для делимости всей суммы достаточно, чтобы 42b делилось на 12. Условие 12 | 42b равносильно 2 | b, следовательно, b должно быть чётным; a может быть любым целым числом.

Ответ: а) x = 25k; б) b = 3k + 2; в) a — любое целое число, b — чётное целое число; k ∈ ℤ.