При каких значениях переменной дробь \(\frac{1}{x-\frac{16}{x}}\) имеет смысл?

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, а выражение \(\frac{16}{x}\) определено только при \(x\ne0\).

Решим условие:

\[x-\frac{16}{x}\ne0\]

\[\frac{x^2-16}{x}\ne0\]

Следовательно, числитель не равен нулю:

\[x^2-16\ne0,\quad x\ne\pm4.\]

Также \(x\ne0\).

Ответ: \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-4,0,4\}\), то есть \(x\ne-4\), \(x\ne0\), \(x\ne4\).