При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\sqrt{3x-9}+\frac{1}{\sqrt{40-5x}}\)?

Решение:

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, а знаменатель не равнялся нулю.

1. Для первого корня:

\( 3x - 9 \ge 0 \)

\( 3x \ge 9 \)

\( x \ge 3 \)

2. Для второго корня:

\( 40 - 5x \ge 0 \)

\( 40 \ge 5x \)

\( 8 \ge x \) или \( x \le 8 \)

3. Для знаменателя:

\( \sqrt{40-5x} \ne 0 \)

\( 40 - 5x \ne 0 \)

\( 40 \ne 5x \)

\( 8 \ne x \)

Объединяя все условия:

\( x \ge 3 \)

\( x \le 8 \)

\( x \ne 8 \)

Таким образом, \( x \) должен быть больше или равен 3 и меньше 8.

В виде интервала это выглядит как \( [3; 8) \).

Ответ: \( x \in [3; 8) \).