При каких значениях р уравнение x²-px+3+p = 0 не имеет корней?

Решение:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет действительных корней, если его дискриминант \(D\) отрицателен, то есть \(D < 0\).

В нашем уравнении \(x^2 - px + 3 + p = 0\) коэффициенты равны:

• \(a = 1\)
• \(b = -p\)
• \(c = 3 + p\)

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4(1)(3 + p) \]

\[ D = p^2 - 4(3 + p) \]

\[ D = p^2 - 12 - 4p \]

Чтобы уравнение не имело корней, нам нужно, чтобы \(D < 0\):

\[ p^2 - 4p - 12 < 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \(p^2 - 4p - 12 = 0\), чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[ p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -12\).

\[ D_{p} = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 \]

\[ p_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 \pm 8}{2} \]

\[ p_1 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

\[ p_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Теперь у нас есть интервалы для \(p\): \((-\infty, -2)\), \((-2, 6)\), \((6, \infty)\).

Нам нужно, чтобы \(p^2 - 4p - 12 < 0\). Это парабола ветвями вверх, поэтому отрицательные значения \(p\) будут между корнями.

Таким образом, \(p\) должно находиться в интервале \((-2, 6)\).

Ответ: