При каких значениях т длины векторов а = (2m;2;3) и b = (-6;-2;т) будут равны?

Решение:

Чтобы длины векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) были равны, необходимо, чтобы выполнялось равенство: \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|\).

• Запишем выражение для длин векторов:

\[\sqrt{(2m)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + m^2}\]

• Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[(2m)^2 + 2^2 + 3^2 = (-6)^2 + (-2)^2 + m^2\]\[4m^2 + 4 + 9 = 36 + 4 + m^2\]\[4m^2 + 13 = 40 + m^2\]

• Перенесем все члены с \(m^2\) в левую часть, а константы в правую часть:

\[4m^2 - m^2 = 40 - 13\]\[3m^2 = 27\]

• Разделим обе части уравнения на 3:

\[m^2 = 9\]

• Найдем значения \(m\), извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[m = \pm \sqrt{9}\]\[m = \pm 3\]

Ответ: m = 3, m = -3