При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) $\sqrt[6]{2x-3}$; 2) $\sqrt[6]{x+3}$; 3) $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$; 4) $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) $\sqrt[6]{2x-3}$; 2) $\sqrt[6]{x+3}$; 3) $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$; 4)…$ Фото задания

При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) $\sqrt[6]{2x-3}$; 2) $\sqrt[6]{x+3}$; 3) $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$; 4) $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$?

Accepted Answer

Чётный корень имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. В четвёртом выражении дополнительно знаменатель не должен быть равен нулю.

$2x-3\ge 0$, поэтому $x\ge \frac{3}{2}$.
$x+3\ge 0$, поэтому $x\ge -3$.
$2x^2-x-1\ge 0$.
Разложим на множители:
$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$.
Следовательно, $(2x+1)(x-1)\ge 0$, откуда $x\le -\frac{1}{2}$ или $x\ge 1$.
$\frac{2-3x}{2x-4}\ge 0$, причём $2x-4\ne 0$, то есть $x\ne 2$.
Критические точки: $x=\frac{2}{3}$ и $x=2$. Методом интервалов получаем:
$x\in\left(-\infty;\frac{2}{3}\right]\cup(2;+\\infty)$.

Ответ: 1) $x\in\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$; 2) $x\in[-3;+\infty)$; 3) $x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right]\cup[1;+\infty)$; 4) $x\in\left(-\infty;\frac{2}{3}\right]\cup(2;+\infty)$.

При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) \(\sqrt[6]{2x-3}\); 2) \(\sqrt[6]{x+3}\); 3) \(\sqrt[6]{2x^2-x-1}\); 4) \(\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}\)?

Ответ: